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06‏/04‏/2010

per una geometria descrittiva attuale

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PER UNA GEOMETRIA DESCRITTIVA ATTUALE
Riccardo Migliari
Sulla necessità di rinnovare l’insegnamento della geometria descrittiva
La geometria descrittiva è la scienza che insegna a rappresentare, modellare e ricostruire nello
spazio le forme a tre dimensioni che sono oggetto della invenzione in architettura, nella ingegneria e
nel disegno industriale. Benché abbia ricevuto il suo nome nel 1795 da Gaspard Monge, questa
scienza è tra le più antiche, tra quante fanno parte del patrimonio culturale dell'umanità, e
comprende al suo interno importanti teorie e applicazioni quali la prospettiva, la teoria delle ombre
e del chiaroscuro, il disegno dell'ordine architettonico, il taglio delle pietre e dei legnami, il disegno
degli ingranaggi e molte altre ancora che qui non occorre ricordare. La geometria descrittiva è
perciò, da sempre, un strumento formativo essenziale nei curricula degli studenti architetti,
ingegneri e designer.
Nell'ultimo quarto dello scorso secolo, con il rapido sviluppo delle tecnologie informatiche
(hardware e software) i problemi che avevano prima una soluzione esclusivamente grafica hanno
trovato una soluzione digitale, vale a dire una soluzione di natura essenzialmente matematica che
però si manifesta nei modi della geometria descrittiva classica e cioè attraverso immagini. Lo
sviluppo di questi algoritmi ha anche arricchito il novero delle teorie di carattere geometrico
descrittivo estendendo, ad esempio, il repertorio delle curve e delle superfici impiegate nella
progettazione dalle coniche e dalle quadriche alle NURBS, il repertorio degli effetti della luce sui
corpi che è possibile rappresentare con cura, dal semplice chiaroscuro della legge di Lambert, ai
riflessi, ai punti brillanti, alle trasparenze degli attuali rendering, etc.
A fronte di questa evoluzione, tuttavia, gli studi e, conseguentemente, l'insegnamento della
geometria descrittiva restano radicati alle forme antiche e questo radicamento provoca una
pericolosa dicotomia tra l'insegnamento tradizionale, non più attuale ma ricco della sua storia, e
l'insegnamento delle tecniche informatiche, attuale, ma ridotto a mera esecuzione di comandi
programmati avulsi da qualsiasi contesto teorico e perciò anche incontrollati.
Urge dunque un rinnovamento della geometria descrittiva che, considerando il forte impatto
dell'informatica in questo settore, può essere visto come una vera e propria rifondazione.
Alcuni approcci al problema
Il problema che ho brevemente introdotto ha recentemente acquisito rilevanza anche in ambito
internazionale. Ne sono prova i programmi dei corsi universitari di molte università europee e
americane, i saggi dedicati all’argomento e i manuali che tentano una integrazione delle teorie e dei
metodi grafici e informatici1.
Le soluzioni che vengono proposte considerano il computer come uno strumento che si aggiunge
alla riga e al compasso nella soluzione dei problemi classici della geometria descrittiva. Di
conseguenza queste soluzioni consistono in supporti multimediali, in programmi o linguaggi di
programmazione dedicati alla soluzione dei suddetti problemi, in modelli grafici bidimensionali
realizzati al computer o, nella migliore delle ipotesi, in modelli tridimensionali interattivi.
Ad esempio, il trattato di Standiford e Standiford, Descriptive Geometry, an integrated approch
usign AutoCAD, che ha conosciuto quest’anno una seconda edizione negli U.S.A., illustra i
1 Nel paragrafo intitolato ‘Riferimenti’ ho raccolto alcune indicazioni relative alle Università che testimoniano
attenzione al problema nei programmi dei loro corsi, ai docenti impegnati e agli Autori di saggi e manuali.
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problemi elementari della geometria descrittiva impiegando un noto programma per il disegno e la
modellazione informatica, alcuni comandi costruiti ad hoc per mezzo degli strumenti di
programmazione integrati e alcune tecniche di e-learning. L’idea, dichiarata nella prefazione, è
quella di portare lo studente a familiarizzare con il software, e perciò con il prodotto prescelto,
mentre si appropria dei fondamenti della geometria descrittiva.
Tuttavia, questo modo di attualizzare l’insegnamento della geometria descrittiva, non sembra il più
efficace, per i seguenti motivi:
􀂃 la geometria descrittiva, con la sua teoria, la sua storia, le sue vaste applicazioni, viene
ridotta a un pretesto per imparare le tecniche di rappresentazione programmate in questo o
quel prodotto commerciale;
􀂃 la formazione della capacità di padroneggiare le forme tridimensionali, passa attraverso il
codice delle proiezioni ortogonali associate, come in passato, anziché sfruttare le
potenzialità offerte dallo spazio virtuale simulato per mezzo del software;
􀂃 lo studente viene indotto a credere che il suo lavoro consisterà nel costruire le proiezioni di
un oggetto per poi scoprire (non è chiaro quando) che dette proiezioni si possono ottenere
automaticamente dal modello tridimensionale;
In modo più sintetico si può dire che queste soluzioni non inquadrano il problema nella prospettiva
storica, non accettano l’idea di una metamorfosi della disciplina stessa, l’idea di una nuova
geometria descrittiva che integra, sì, il computer tra i propri strumenti, ma se ne serve senza esserne
asservita.
Tutto ciò può essere illustrato con un semplice esempio.
Consideriamo questo problema: costruire i piani tangenti ad una sfera che passano per una retta
esterna. La soluzione tradizionale, condizionata dall’uso della riga e del compasso, richiede la
costruzione del piano che appartiene al centro della sfera perpendicolare alla retta, quindi la
costruzione del punto e del cerchio che il piano ha in comune con la retta e con la sfera, infine la
costruzione delle tangenti condotte dal punto al cerchio, le quali individuano, insieme alla retta data,
i due piani tangenti richiesti.
Se ora ammettiamo l’uso di un programma di modellazione, il medesimo problema può essere
risolto così: scelti due punti distinti sulla retta, si costruiscono i contorni apparenti della sfera
rispetto all’uno e all’altro dei due punti; questi due contorni si incontrano in due punti che, insieme
a quelli staccati sulla retta, definiscono due terne che individuano i piani tangenti2.
Vantaggi di questa seconda soluzione: l’immediatezza (il contorno apparente può essere costruito
con un solo comando) e, soprattutto, la generalità (la soluzione è valida per qualsiasi superficie, non
solo per la sfera). Nella concezione, questa soluzione è ineccepibile anche nel contesto della
geometria descrittiva classica, ma non è applicabile, per la difficoltà di una costruzione grafica che
impiega soltanto la riga e il compasso. Nella nuova geometria descrittiva, invece, l’uso di un terzo
strumento, il computer, appunto, rende la costruzione non solo praticabilissima ma sicuramente
preferibile ad ogni altra per semplicità ed efficacia.
In conclusione, il problema, che ho citato come esempio, può essere risolto nello spazio virtuale con
una soluzione che appartiene di diritto alla nostra scienza e che, tuttavia, rappresenta una evoluzione
della soluzione tradizionale.
E poiché questo, che ho citato, non è certamente il solo problema capace di una soluzione più
semplice e generale, c’è da credere che l’intero corpus disciplinare possa essere riscritto tenendo
conto degli apporti della tecnologia informatica.
Questa è l’idea: Rendiamo al CAD il suo passato, alla geometria descrittiva il suo futuro.
2 Questa soluzione viene proposta e praticata, nei testi classici, limitatamente al caso della sfera. Si vedano ad esempio i
manuali dei gesuiti di scuola francese.
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Il rinnovamento della geometria descrittiva come generalizzazione
Vorrei ora tornare brevemente sul carattere generalizzante della evoluzione proposta nel problema
dei piani tangenti alla sfera. Credo sia utile, perché la Storia ci ha insegnato che la scienza
progredisce quando trova una sola legge capace di spiegare, in modo più semplice, ciò che prima
era spiegato da più leggi. In altre parole la scienza progredisce quando, appunto, generalizza. A ben
vedere anche il contributo di Gaspard Monge ha soprattutto un valore generalizzante, perché
riunisce in un unico codice, teorie e procedimenti già noti ma distinti (da Piero della Francesca a
Frézier).
L’evoluzione degli algoritmi impiegati nella modellazione informatica ci fornisce altri esempi di
questo processo. Le NURBS, ad esempio, sono espressioni capaci di rappresentare con esattezza
tanto linee luogo geometrico (come le coniche3) quanto linee grafiche, come i profili degli scafi.
Forse questo modo di descrivere le coniche non è il più maneggevole, soprattutto se si vuole
studiare le proprietà di queste curve, ma resta il fatto, notevolissimo, che, aggiustando
opportunamente i parametri, è possibile descrivere un cerchio e un profilo alare con la medesima
equazione. Perciò non solo questa legge comprende molte leggi prima distinte, ma rende
codificabili forme che prima erano definite ‘grafiche’ perché potevano essere controllate solo per
mezzo dell’intuizione di un bravo disegnatore: che fosse artista o tecnico del lofting poco importa.
Fino a pochi anni fa, noi docenti di geometria descrittiva non avremmo assegnato come esercizio ai
nostri allievi le proiezioni ortogonali associate di una automobile, perché sapevamo che la
geometria descrittiva avrebbe fornito un controllo parziale di quella forma, su pochi punti notevoli e
men che meno sui contorni apparenti relativi alle due proiezioni. Oggi non è più così: grazie alla
modellazione tridimensionale e ai nuovi algoritmi per la descrizione di curve e superfici, il controllo
è esteso ad ogni punto della forma ed è anche estremamente accurato (fino al micron).
Ed ecco dunque una ragione in più per integrare le tecniche di modellazione informatica nel corpus
disciplinare della geometria descrittiva: direi, anzi, che la generalizzazione dei procedimenti è
garanzia del successo dell’operazione, nel senso che possiamo confidare in un progresso.
Un progetto per il rinnovamento degli studi e dell’insegnamento della geometria
descrittiva
Eppure, a tutt’oggi, i programmi delle nostre scuole sono ancora incerti nel proporre l’integrazione
di questi metodi e non esiste un manuale di riferimento che possa aprire la via ad un nuovo assetto
della disciplina. Forse è proprio questo, invece, l’obiettivo che dovremmo raggiungere, lavorando
insieme. Perciò, nel procedere del mio discorso, cercherò di proporre un possibile riassetto della
geometria descrittiva come lo si potrebbe trovare in un volume ad uso delle università. Questo
ipotetico manuale dovrebbe comprendere, a mio avviso, tre parti principali: la prima dedicata ai
metodi, la seconda ai problemi fondamentali, la terza alle applicazioni.
I metodi e il loro ampliamento
Nella prima parte, dunque, dedicata alla descrizione degli oggetti, propongo di raccogliere insieme i
metodi di rappresentazione grafica della geometria descrittiva tradizionale e i metodi di
rappresentazione informatica.
Quali sono questi metodi?
Quelli classici sono, come a noi tutti è ben noto, il metodo della doppia proiezione ortogonale (o
metodo di Monge che dir si voglia), il metodo della proiezione quotata, il metodo dell'assonometria
e il metodo della prospettiva (intendo, cioè, la proiezione centrale). I metodi della rappresentazione
informatica sono, invece, il metodo matematico (quello della modellazione per curve e superfici
3 Cfr. Piegl L. Tiller W., The NURBS Boook, Sprinter, Berlino 1997.
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NURBS e quello della modellazione solida) e il metodo numerico (quello della modellazione mesh
o poligonale e delle superfici di suddivisione).
Prima di procedere oltre, vorrei chiarire cosa intendo dire a proposito dei metodi di modellazione
informatica. Programmi di modellazione matematica, come Rhinoceros, Studiotools, thinkdesign
etc., utilizzano la rappresentazione matematica (NURBS) per realizzare, nell’ambiente informatico,
le operazioni tipiche della geometria descrittiva, come, ad esempio, la costruzione di superfici
quadriche e rigate, di sezioni e intersezioni, del contorno apparente rispetto a un punto o a una
direzione etc.. E l’operatore procede, nella costruzione del modello, esattamente come procederebbe
nella costruzione di un modello grafico, mantenendo ben saldo e accurato il controllo metrico della
forma. Le superfici, dunque, sono descritte, con continuità, in tutti i punti per mezzo di equazioni.
Tuttavia, allo scopo di visualizzare ciò che viene costruito, questi modellatori elaborano anche una
descrizione numerica (mesh) del modello. E ciò perché gli algoritmi che consentono tale
visualizzazione chiaroscurata, lavorano, per interpolazione, su superfici poliedriche. Questa
derivazione del poliedro dalla forma ideale e continua rappresentata matematicamente, è nota con il
nome di tassellazione. La rappresentazione numerica, in un modellatore matematico, può essere
considerata un incidente senza importanza, non è certo, essa, lo scopo del lavoro di modellazione.
Al contrario, altri programmi di modellazione, come 3DStudio, Maya, Cinema4D etc., essendo
orientati alla visualizzazione della forma, nei modi più completi e raffinati, tipici del rendering e
delle tecniche di animazione, impiegano il modello numerico (mesh) come principale oggetto di
elaborazione. Non che questi programmi manchino di strumenti di modellazione matematica, li
possiedono, infatti, ma solo con l’obiettivo di facilitare la costruzione del poliedro e infatti mettono
a disposizione dell’operatore una quantità di comandi atti a controllare facce, spigoli e vertici (si
parla di modellazione poligonale). Le procedure di modellazione, in questo caso, hanno poco o
nulla a che fare con la geometria descrittiva e ricordano, piuttosto, la plastica ornamentale della
vecchia scuola, quella che si faceva con il gesso e con l’argilla. Il modello numerico, infatti, offre
un ottimo controllo visivo della forma, ma non consente un controllo metrico efficace, proprio
perché rappresenta le superfici in un certo numero di punti, che l’operatore, anzi, deve minimizzare
a vantaggio della velocità delle successive elaborazioni.
Ciò detto, l’accostamento dei metodi di rappresentazione grafica ai metodi di rappresentazione
informatica può apparire arbitrario.
Perché il suddetto accostamento può apparire arbitrario?
Sostanzialmente perché i metodi grafici sembrano essere caratterizzati, essenzialmente, dal diverso
modo di visualizzare gli oggetti della rappresentazione, mentre i metodi informatici sono
indifferenti alla visualizzazione e si caratterizzano nel trattamento dei dati.
Ebbene, se si guarda al di là delle apparenze di una pianta, di una prospettiva o di un modello solido
o di un rendering, si vede che i metodi si caratterizzano sopratutto per l'uso che se ne fa. Vorrei dire,
tra parentesi, che già la descrizione operativa di Vitruvio sembra alludere a questo carattere dei
metodi di rappresentazione: l'icnografia serve a distribuire lo spazio, a misurare, a disporre lo
spiccato dell'edificio al suolo; l'ortografia serve a ordinare gli alzati (e viene, operativamente, al
secondo posto), la scenografia serve ad apprezzare l'insieme, al di fuori da ogni controllo mensorio.
Ancora oggi, benché l'atteggiamento nei confronti del progetto sia profondamente mutato, le
proiezioni ortogonali e la proiezione quotata hanno valenza di controllo metrico, essenzialmente,
mentre l'assonometria e la prospettiva hanno valenza di controllo formale, sia esso obiettivo, legato
alla giustapposizione delle masse, come soggettivo, legato alla percezione visiva dello spazio.
La medesima differenza si ritrova nei modelli informatici. Quale che sia la visualizzazione adottata,
infatti, i modelli matematici hanno, essenzialmente, valenza di controllo metrico; i modelli numerici
di contro, hanno valenza di controllo formale. La modellazione NURBS e solida consente infatti un
controllo della misura e della forma degli oggetti che trova il suo limite solo nella accuratezza della
rappresentazione; mentre la modellazione numerica (poligonale o per superfici di suddivisione) non
consente un controllo accurato della misura e della forma, ma offre, in compenso, rapidità e facilità
di esecuzione. Non è un caso, dunque, se i modelli matematici sono impiegati soprattutto nella
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progettazione (nell'architettura come nella produzione industriale), mentre i modelli numerici sono
impiegati soprattutto nella realizzazione di effetti visivi, come nel cinema di animazione e nella resa
chiaroscurale.
E non è neppure un caso se un aspetto ancora problematico del rilievo a scansione laser sta proprio
nell'uso di un modello numerico (la nuvola di punti o la mesh da essa derivata) laddove
necessiterebbe, invece, un modello matematico e gli elaborati, anche grafici, che da esso si possono
derivare. Cosicché il passaggio dal modello numerico al modello matematico, il cosiddetto reverse
engineering è oggi, di fatto, uno dei problemi centrali della rappresentazione4.
Da ultimo vorrei ricordare che, anche nella modellazione informatica, si fa uso soprattutto di
proiezioni ortogonali, per lo più assonometriche, quando si lavora con la matematica, mentre
quando si lavora sulle mesh o sulle superfici di suddivisione prevale la proiezione centrale.
Sussistono, poi, forti analogie tra metodi grafici e metodi informatici che confortano ulteriormente
l’idea di comporli insieme.
In primo luogo, quale che sia il metodo adottato, i dati si dispongono progressivamente nello spazio
rappresentato e progressivamente delineano, o, per meglio dire, descrivono la forma oggetto della
rappresentazione. La visualizzazione della forma è una conseguenza automatica di questo processo,
nell'universo grafico come in quello informatico. E ancora una volta dobbiamo riconoscere quanto
la vecchia classificazione dei metodi fondata sulle caratteristiche dell'immagine (doppia, semplice,
prospettica) sia meramente convenzionale, per non dire, in certa misura, fuorviante.
Ad esempio, se si vuole costruire un cilindro si comincia col rappresentare la direttrice, poi si
appoggiano a questa direttrice le generatrici: nella rappresentazione grafica le sole generatrici di
contorno apparente, in quella matematica una definizione più completa, che si conclude, però, con
un risultato analogo.
In secondo luogo, sono analoghe le procedure della costruzione: nell'universo grafico, come in
quello informatico, le entità tridimensionali si costruiscono a partire da entità bidimensionali
disposte su un piano (di volta in volta detto piano di costruzione, piano di lavoro, etc.). Questo
piano è, nel modello grafico, il piano di proiezione, che coincide con il foglio da disegno. Quando
occorre, una operazione detta ‘raddrizzamento’ (inversa del ribaltamento) consente di collocare la
vera forma disegnata sul piano di proiezione nello spazio. Oppure un’altra operazione, detta
‘cambiamento dei piani di proiezione’, consente di disporre il piano di proiezione nello spazio, nella
posizione richiesta dalla costruzione.
Nel modello informatico c’è maggiore libertà di azione perché si può procedere come nel modello
grafico, ma si può anche muovere il piano di costruzione nello spazio, indipendentemente dal piano
di proiezione, cioè dalla veduta del modello, e in ultima analisi, indipendentemente dal disegno.
In terzo luogo, analoghe, anzi, identiche sono le soluzioni geometriche dei problemi, fatta salva la
possibilità di seguire procedure più efficienti, come ho mostrato con l’esempio dei piani tangenti
alla sfera.
Ad esempio, la semplice misura dell'angolo di pendio di un piano esige la costruzione di una retta di
massima pendenza; esige, perciò, una procedura squisitamente geometrico descrittiva che è quella
che insegnano i vecchi manuali dell’ottocento quale che sia il contesto, grafico o informatico.
Infine occorre una breve riflessione sul lessico della nuova geometria descrittiva. In attesa che i
produttori dei vari programmi commerciali si decidano una buona volta a unificare la terminologia,
possibilmente adeguandola ai termini consolidati e corretti usati nella letteratura sull’argomento,
almeno da un paio di secoli, occorre definire un vocabolo che sappia indicare, indifferentemente, il
metodo grafico come quello informatico.
Il termine ‘proiezione’ (doppia proiezione, proiezione assonometrica, proiezione centrale)
confligge, come abbiamo visto, con la definizione del metodo informatico che è avulsa dalla vista
adottata. La parola ‘modello’, dal canto suo si presta male ad essere coniugata nei modi della
rappresentazione grafica: ad esempio, bisognerebbe dire ‘modello in doppia proiezione ortogonale’.
4 Cfr. Trevisan C., Proporzioni e vera forma di particolari architettonici rilevati con scanner 3D: caratteristiche di un
software specifico, Disegnare, idee immagini, vol. 24, Roma 2002.
6
La parola che, invece, secondo me, si presta meglio a questo uso generalizzato è ancora
‘rappresentazione’. I metodi della geometria descrittiva, perciò, sono quelli della rappresentazione
ortogonale, della rappresentazione quotata, della rappresentazione assonometrica, della
rappresentazione prospettica, della rappresentazione matematica e della rappresentazione numerica.
In conclusione, dunque, io credo che la parte prima di un nuovo manuale di geometria descrittiva e
delle sue applicazioni, potrebbe essere articolata come nel diagramma complessivo dei contenuti,
che riporto in fondo.
I problemi fondamentali della geometria descrittiva e una loro classificazione
didattica
La seconda parte è quella dedicata ai problemi della geometria descrittiva e alle relative soluzioni.
Come abbiamo visto in alcuni esempi, queste soluzioni possono grandemente avvantaggiarsi
dell’uso dei modellatori informatici.
Sorge dunque una questione di non poca difficoltà: è lecito l’uso di questi strumenti nella geometria
descrittiva? La domanda non è banale, perché se la risposta dovesse essere negativa, allora non
avrebbe senso il mio sforzo di integrare le tecniche di modellazione informatica nella disciplina
classica. Se, al contrario, la risposta è ‘ebbene sì, è lecito’, allora l’integrazione di cui parlo diventa
quasi un obbligo morale per chi ancora si occupa di questi studi.
Consideriamo allora brevemente, la questione della classificazione dei problemi della geometria,
questione antica, efficacemente riassunta da Guido Castelnuovo nel suo manuale di geometria
analitica e proiettiva5. In breve: esistono problemi che si possono risolvere con la riga ed il
compasso e problemi che non si possono risolvere con la riga ed il compasso. Questi ultimi,
evidentemente, non sono risolvibili neppure nell’ambito della geometria descrittiva. Ad esempio:
non si può costruire un poligono regolare di sette lati, non si può rettificare la circonferenza, etc.
Perciò, in teoria, la geometria descrittiva non può rappresentare un prisma o una piramide che abbia
come base un ettagono. Eppure esiste una costruzione geometrica approssimata dell’ettagono6 e si
può benissimo dividere in sette la lunghezza di una circonferenza calcolata usando il pi greco. Tutto
sta ad accettare il calcolo e, se necessario, le approssimazioni che ne conseguono. D’altronde la
geometria descrittiva non è nata nell’empireo della matematica, ma, invece, nel ‘volgare’ mondo
dell’arte. Piero della Francesca la usa per costruire i suoi spazi eterei e luminosi e Gaspard Monge
per costruire cannoni. In entrambi i casi, i risultati che la geometria descrittiva fornisce sono affetti
da un errore grafico e questo errore è tacitamente accettato.
Ora, come sappiamo, il computer costruisce all’istante rette e cerchi (i mezzi canonici della
costruzione geometrica) ma anche ellissi, parabole, iperboli e molte altre entità geometriche. Tutte
queste figure sono approssimate, anche se la tolleranza è molto, molto più piccola di quella
accettata nel disegno. Perché, allora, non dovrebbe essere lecito usare queste entità nella soluzione
dei problemi della geometria descrittiva?
Accettata, perciò, l’introduzione di questo nuovo strumento, sorge una seconda questione: quali
problemi saranno ancora risolti per via grafica, almeno nell’esercizio accademico, e quali per via
informatica? Questa scelta, secondo me, deve essere lasciata ai docenti, in piena libertà. Vi sono,
5 Cfr. Castelnuovo G., Lezioni di geometria analitica, Società Editrice Dante Alighieri, Città di Castello 1969.
L’edizione consultata è la sedicesima di un opera nata nel 1903 e contiene una importante appendice storica dedicata ai
problemi della geometria elementare, alla loro classificazione e risolubilità per mezzo della riga, del compasso e di altri
strumenti, reali, come la riga a due orli, o del tutto teorici. In tal modo Castelnuovo rende conto di una ricerca
antichissima, che muove dal problema di Delo per approdare alla costruibilità dei poligoni regolari e ai relativi teoremi
di Gauss.
6 Ignaro del problema, Girolamo Crescenzi Serlupi propone, nel suo trattatello di Pratica di geometria in carta e in
campo (Roma 1746) una costruzione assai semplice. Se questo ettagono, approssimato, viene inscritto in una
circonferenza di raggio 1000, il suo lato risulta lungo 866,0254. Il medesimo ettagono, costruito ricorrendo al calcolo,
mostra sette lati, apparentemente eguali, lunghi 867,7675. Dunque, la costruzione grafica di Serlupi è affetta da un
errore pari al 2 per mille, circa.
7
infatti, contesti, come quello delle facoltà di ingegneria, nei quali la trattazione grafica dei problemi
della geometria descrittiva potrebbe essere ridotta al minimo, e contesti, come quelli delle facoltà di
art design, nei quali, evidentemente, la trattazione grafica è preponderante. In mezzo a questi due
estremi sta una serie infinita di variazioni, in fatto di contenuti come anche in fatto di
approfondimenti. Una cosa è certa: la geometria descrittiva, intesa come corpus disciplinare, deve
comprendere ogni possibile soluzione, sia grafica che informatica.
Stabilito ciò, c’è un’ultima questione da affrontare.
Molti dei problemi della geometria descrittiva trovano nell’ambiente informatico e, in particolare,
nella rappresentazione matematica, una soluzione immediata, cioè programmata7. Molti altri,
invece, debbono essere risolti con procedure complesse analoghe a quelle delle rappresentazioni
grafiche.
Con una accettabile approssimazione possiamo dire che, allo stato dell’arte, come si è andata
consolidando negli ultimi vent’anni, i problemi che trovano in ambiente informatico una soluzione
immediata sono: la costruzione di alcune forme elementari, dette ‘primitive’ e la soluzione dei
problemi elementari di perpendicolarità, tangenza e intersezione, ivi comprendendo la costruzione
del contorno apparente. Il termine ‘primitive’, che fa parte, appunto, del nuovo lessico informatico,
sta ad indicare, impropriamente, quelle forme che non sono derivate da altre.
In conclusione, il computer può essere visto come uno strumento analogo alla riga e al compasso,
ma capace di:
􀂃 costruire, oltre alla retta e al cerchio, anche l’ellisse, la parabola, l’iperbole, la sfera, il cono,
il cilindro, il toro, e le rigate a piano direttore;
􀂃 costruire, oltre alle rette mutuamente perpendicolari, la retta tangente ad una curva in un
punto dato, la retta perpendicolare ad una curva in un punto dato, il piano tangente ad una
superficie in un punto dato, la retta perpendicolare ad una superficie in un punto dato, il
contorno apparente di una superficie rispetto ad un centro di proiezione (proprio o
improprio).
Partendo da questa considerazione, è possibile abbozzare una classificazione dei problemi tipici
della geometria descrittiva, per distinguere, come si è detto, quelli che trovano nell’ambiente
informatico una soluzione immediata da quelli che necessitano di considerazioni e procedure
articolate, quale che sia il metodo di rappresentazione adottato.
Lo scopo di questa classificazione è duplice.
􀂃 Da un lato consente di raggruppare i problemi che debbono essere studiati in ogni caso, e
cioè sia che si faccia affidamento sul computer, sia che ci si affidi solo alle tecniche grafiche
tradizionali. Infatti, la soluzione di questi problemi, che consiste in una successione di
operazioni da compiere nello spazio, non si può ottenere senza un ragionamento fondato
sulle logiche e sulle tecniche della geometria descrittiva.
􀂃 Dall’altro lato, la classificazione proposta, consente di raggruppare i problemi che conviene
trattare nel modo tradizionale. Infatti, la loro soluzione informatica è banale, appunto perché
programmata, e rientra nell’altrettanto banale addestramento all’uso del software. Mentre la
soluzione grafica, nella sua chiarezza e semplicità, introduce all’esercizio di quella logica e
di quelle tecniche che ho prima richiamato e che sono a fondamento delle soluzioni
complesse del gruppo che precede.
In sintesi, questa classificazione potrebbe mettere in evidenza i problemi che costituiscono
l’abbecedario grafico dello studente architetto, ingegnere o designer: quel libro sul quale si impara a
scrivere senza uso di macchine e soprattutto si impara a leggere i disegni. E permetterebbe anche di
7 I problemi che trovano nell’ambiente informatico una soluzione immediata sono molti, ma non tutti. Credo non vi sia
dubbio circa il fatto che vi saranno sempre problemi non programmati, dal momento che il loro numero è infinito. Ci si
potrebbe allora interrogare su quali siano le operazioni minime e indispensabili che un computer deve poter eseguire per
rappresentare lo spazio. Io credo, a riguardo, che un computer in grado di tracciare, nello spazio, una retta e un cerchio,
potrebbe essere usato per risolvere tutti i problemi della geometria descrittiva, dal momento che offrirebbe i medesimi
strumenti che erano disponibili prima dell’era informatica: la riga e il compasso.
8
capire quali problemi, dimenticati da tempo per la loro complessità, possono oggi essere riproposti
grazie all’aiuto dei mezzi informatici.
Classificazione didattica dei problemi fondamentali della geometria descrittiva
Tutto ciò premesso, i problemi fondamentali della geometria descrittiva possono essere raccolti in
cinque classi.
Classe I - Costruzione di figure elementari
Dove, con il termine ‘figure elementari’ si intendono gli enti geometrici fondamentali e le forme primitive,
bidimensionali e tridimensionali; si intendono, perciò, quelle forme che, almeno nella rappresentazione matematica,
possono essere generate direttamente, senza ricorso a procedure di costruzione.
Sono esempi di figure elementari: il punto, la retta e il piano, il cerchio e la sfera, il cono circolare retto, il cilindro
rotondo, etc.
Classe II - Costruzione di relazioni elementari
Sono le relazioni di appartenenza, di tangenza o di perpendicolarità che, nella rappresentazione matematica, possono
essere costruite immediatamente.
Relazioni elementari di appartenenza sono, ad esempio, quelle che distinguono gli elementi notevoli di una curva o di
una superficie (flessi, cuspidi, generatrici e direttrici, isoparametriche, contorno apparente di una superficie rispetto a un
centro di proiezione).
Classe III - Costruzione di punti e di curve intersezione
Il punto intersezione di una linea e di una superficie è un caso particolare della intersezione di due figure.
La sezione piana di una superficie è un caso particolare della intersezione di due figure (elementari o complesse).
La curva intersezione di queste figure si può descrivere per punti usando una coppia di sezioni piane.
Classe IV - Costruzione di figure complesse (o non elementari)
Dove, con il termine ‘figure complesse’ si intendono tutte le figure che non ricadono nella prima classe e che, perciò,
non possono essere generate direttamente, bensì ricorrendo a procedure particolari e ciò anche nella rappresentazione
matematica.
Sono esempi di figure complesse: le linee luogo geometrico in generale (ad eccezione del cerchio), le quadriche in
generale (ad eccezione della sfera), le rigate, le superfici topografiche, le linee grafiche, le superfici di interpolazione
(come le NURBS).
Classe V - Costruzione di relazioni complesse
Sono le relazioni di appartenenza, di tangenza o di perpendicolarità che, anche nella rappresentazione matematica, non
possono essere costruite immediatamente.
Sono esempi di elementi legati da relazioni complesse la retta di massima pendenza di un piano, i piani che
appartengono ad una retta e sono tangenti ad una superficie, le parabole direttrici di un paraboloide iperbolico etc..
I problemi che appartengono alle prime tre classi hanno una soluzione immediata nella
rappresentazione matematica.
I problemi della quarta e della quinta classe, invece, salvo poche eccezioni, richiedono procedure
complesse quale che sia il metodo di rappresentazione utilizzato8.
Perciò, come si è detto, nella stesura di un eventuale manuale, i problemi delle prime tre classi
sarebbero trattati prevalentemente nei metodi di rappresentazione grafici (essendo banale la
soluzione informatica), mentre i problemi che appartengono alle ultime due classi sarebbero trattati
in tutti i metodi, privilegiando, eventualmente, quelli più adatti nel caso di problemi particolari. Ad
8 La ricerca ‘Il problema del rinnovamento degli studi e dell’insegnamento della rappresentazione dell’architettura nel
quadro evolutivo della geometria descrittiva dalla teoria proiettiva alla teoria informatica e dalle applicazioni grafiche
alla modellazione digitale.’ da me coordinata, con la partecipazione di Laura De Carlo, Andrea Casale, Marco Fasolo,
Graziano Mario Valenti, Laura Carlevaris, Michele Sganga, Michele Curuni, Anna De Santis, Federico Fallavolita e
Daniele Calisi, prevede la classificazione dei problemi fondamentali della geometria descrittiva attraverso la disamina
dei più importanti trattati dell’ottocento e del novecento. A questo scopo è stato predisposto un idoneo data-base.
9
esempio, la rappresentazione quotata e la rappresentazione matematica si prestano meglio al
trattamento delle superfici topografiche e delle operazioni di modellazione relative, la
rappresentazione prospettica e la rappresentazione numerica, meglio si prestano a simulare la
percezione visiva dello spazio.
Come ho accennato questa classificazione ha anche il vantaggio di isolare quei problemi che,
presumibilmente, sono suscettibili di soluzioni inedite. Dico ‘presumibilmente’ perché uno studio,
in tal senso, è tutto da sviluppare. In effetti, a tutt’oggi, ancora ben poco è stato fatto per rileggere la
geometria descrittiva classica e riscriverla anche con i mezzi offerti dall’informatica. Eppure è
evidente che questa operazione, ove fosse condotta su larga scala e non su semplici campioni,
porterebbe grandi vantaggi come la riscoperta del patrimonio delle eleganti forme dell’ottocento e
la divulgazione di proprietà geometriche delle superfici che non hanno ancora avuto una
manifestazione visiva, ma sono imprigionate nelle astrazioni delle formule matematiche.
Le applicazioni della geometria descrittiva nel quadro del rinnovamento
Bisogna infine considerare il vasto orizzonte delle applicazioni della geometria descrittiva nelle
quali includo, anche se un po' impropriamente, lo studio delle curve e delle superfici che costituisce
parte notevolissima di ogni trattato del secolo scorso. Queste applicazioni comprendono per
consolidata tradizione: la teoria e le applicazioni delle ombre e del chiaroscuro, lo studio dei
poliedri, la stereotomia, ovvero il taglio delle pietre e dei legnami, il disegno (ma bisognerebbe dire
il progetto) degli ingranaggi, il disegno dell'ordine architettonico e la prospettiva (piana e solida).
Ebbene, l'inclusione dei metodi matematico e numerico tra i metodi di descrizione della forma,
porta alla nascita di nuove applicazioni, proprie dei metodi di rappresentazione informatica, come
sono, ad esempio, le tecniche che consentono di imporre continuità alle superfici, ma porta, altresì,
all’arricchimento delle applicazioni tradizionali con esperienze del tutto nuove.
Ma non occorrerà che io mi dilunghi portando esempi, perché queste esperienze sono apparse
talmente numerose, da qualche anno a questa parte, nei volumi, nei saggi, nelle comunicazioni a
convegni presentate da molti colleghi in occasioni e contesti diversi, che non è qui possibile
ricordarle tutte.
Ad esempio, il disegno dell’ordine architettonico si è arricchito di verifiche prima quasi
impensabili, come hanno dimostrato le ricostruzioni della Basilica di Vitruvio9, dei progetti di
Palladio10, o anche la modellazione tridimensionale dei capitelli ionici teorizzati dai trattatisti e la
scoperta di anomale intersezioni che si ritrovano, infatti, corrette, nei capitelli realizzati11.
Alla teoria delle ombre e del chiaroscuro sono stati aggiunti tutti quegli effetti della luce sui corpi
che, nel passato, venivano soltanto descritti nelle linee generali e poi imitati dal vero, per la
difficoltà di rappresentarli attraverso costruzioni grafiche. Mi riferisco, ad esempio, alla penombra,
ai punti brillanti, e, soprattutto ai riflessi e alla luce diffusa.
Allo studio dei poliedri possono essere aggiunte quelle forme che, pur avendo un alto interesse per
l'architettura e per l'ingegneria, erano ostiche alla matita, come le cupole geodetiche di frequenza
superiore e i poliedri tronchi o stellati con un numero elevato di facce.
Il taglio delle pietre e dei legnami è stato condotto applicando al modello quelle lavorazioni, nel
senso proprio del termine, che la modellazione solida permette di simulare con cura12. Penso alla
realizzazione di tasche, smussi, raccordi e così via.
9 Cfr. Mezzetti C. Clini P. Taus P., L’architetto Vitruvio e la Basilica di Fano. Segni e disegni di un’opera unica,
Disegnare, idee immagini, vol. 11, Roma 1995.
10 Cfr. Burns H. Beltramini G. Gaiani M. (a cura di), Andrea Palladio. Le ville, CD Rom, Vicenza 1997.
11 Cfr. Migliari R., Angelini B., Il capitello ionico classico e gli esiti inaspettati di un suo modello numerico, Disegnare,
idee immagini, vol. 17, Roma 1998.
12 Cfr. De Carlo L., Geometrie del pensiero costruttivo nel trattato di stereotomia di Alonso de Vandelvira, Disegnare,
idee immagini, vol. 28, Roma 2004; D’Amato C. Fallacara G. (a cura di), L'arte della stereotomia: i Compagnons du
devoir e le meraviglie della costruzione in pietra, Parigi 2005.
10
Infine la prospettiva solida permette di dare corpo tridimensionale a trasformazioni proiettive, come
quelle delle quadriche, che prima si potevano solo immaginare.
Naturalmente l'elenco potrebbe continuare13, ma non è questo il mio scopo.
Vorrei però far notare come le rappresentazioni informatiche si facciano strumento privilegiato
nello studio di queste applicazioni: in particolare le rappresentazioni matematiche, in tutto ciò che
attiene alle superfici e ai solidi; le rappresentazioni numeriche in tutto ciò che attiene alla luce e alla
rappresentazione di forme naturali, come le superfici topografiche.
Quid tum? Cosa insegnare, come insegnare, dunque?
Se ora immaginiamo un volume che raccolga insieme la trattazione degli argomenti cui ho
brevemente accennato e, cioè, i metodi, i problemi e le applicazioni, ci appare chiara la mole e la
vastità dell’impresa. Un’impresa che, molto probabilmente, non può essere condotta a termine da
uno solo ma da un gruppo di ricercatori.
Appare anche evidente che il contenuto di questo manuale non potrà mai costituire per intero la
materia di insegnamento di uno dei nostri corsi universitari, già penalizzati dalle riforme che si sono
succedute negli ultimi anni e ormai ridotti a poche ore.
Il manuale che io ipotizzo (e auspico al tempo stesso) potrebbe costituire al più un mezzo di
consultazione. Che cosa si potrebbe, allora, estrarre dai contenuti per proporlo nell’insegnamento?
Come ho già detto, secondo me, questa selezione potrebbe e dovrebbe variare in funzione del corso
di laurea. Ma alcuni paragrafi potrebbero restare comuni a tutti.
Mi riferisco, in particolare, ai problemi della geometria descrittiva. Questi problemi, oggi sono
quasi scomparsi, eppure costituivano un tempo la parte preponderante dei corsi, quella palestra di
esercizi che, consolidando la teoria nella pratica, irrobustiva la capacità mentale di prefigurare lo
spazio e i suoi modelli, capacità essenziale, come sappiamo, nella formazione di un progettista.
Oggi invece, il tempo tiranno costringe a scelte radicali: limitarsi ai fondamenti teorici dei metodi di
rappresentazione grafica se si vuole anche accennare ai metodi informatici; oppure limitarsi ai
metodi grafici e a qualche sparuta applicazione lasciando ad altri (ma a chi?) il compito di
introdurre all’uso del computer; oppure (questa, secondo me, la peggiore tra le scelte possibili)
insegnare l’uso dei comandi di questo o quel software, come fanno, purtroppo, tanti giovani
contrattisti catapultati in cattedra senza una scuola, una vera scuola, alle spalle.
Pensiamo, ora, per un momento, le vecchie tavole, quelle con la linea di terra, per intenderci, e i
ribaltamenti e l’omologia e immaginiamo di sviluppare, però, questi problemi al computer, in tre
dimesioni. Ad esempio, e per rendere l’idea, immaginiamo di prendere le mille tavole
pazientemente incise da Fausto Vagnetti14 per rifare i medesimi esercizi di composizione di solidi,
oppure le tavole di Giambattista Berti15 per rifare i medesimi chiaro-scuri, oppure ancora uno degli
innumerevoli eserciziari francesi16 scritti tra fine ottocento e primo novecento per preparare gli
13 Avrei voluto qui citare molti altri saggi e molte tesi di dottorato che ho impresse nella mente, ma non mi è possibile.
Chiedo scusa agli Autori, che di certo si riconosceranno nei temi ai quali ho fatto cenno.
14 Fausto Vagnetti, padre di Luigi, insegnò in varie scuole romane: preso la Facoltà di Ingegneria (Disegno
Architettonico e Ornato, tra il 1908 e il 1921); presso l’Istituto di Belle Arti (Figura Disegnata, tra il 1912 e il 1942); al
Museo Artistico e Industriale (Prospettiva e Scenografia, tra il 1912 e il 1925); infine alla nuova Facoltà di Architettura
(Disegno dal Vero, dal 1920 al 1950). Tra il 1946 e il 1948, Vagnetti preparò un manuale di geometria descrittiva dal
titolo Elementi di Scienza del Disegno. Questo manuale è stato pubblicato in tre volumi, in seconda edizione, tra il 1964
e il 1972, come spiega l’Editore nella premessa. L’opera comprende oltre cento tavole sciolte, che ospitano
innumerevoli figure e costituiscono un prezioso repertorio di quegli esercizi che costituivano il banco di prova della
geometria descrittiva nelle scuole, da quelle secondarie fino alle università, prima delle trasformazioni che hanno
portato alla situazione attuale.
15 Giambattista Berti, architetto vicentino, è autore di opere dedicate al disegno dell’ordine architettonico illustrate al
tratto e al chiaroscuro: Studio elementare degli ordini di architettura di Andrea Palladio (1818); Vignola illustrato
(1822 e 1839); Delle Ombre e del Chiaro-Scuro in Architettura geometrica (1841).
16 Ad esempio, Éléments de Géométrie descriptive avec nombreux exercices, di F.J. (la F, sta quasi certamente per
‘frère’, l’autore è un laico gesuita), pubblicato nel 1893, o anche Éléments de Géométrie descriptive a l’usage des
11
studenti al ‘baccalauréat’, come agli esami del politecnico, e vedremo che la geometria descrittiva
ritroverà intatta tutta la sua capacità di intrigare, di incuriosire, di appassionare e, perciò anche, di
formare.
candidats aux baccalauréats de l’enseignement secondaire et aux écoles du gouvernement, di H. Ferval, pubblicato nel
1907.
12
Contenuti della Geometria Descrittiva
Metodi di rappresentazione
Problemi fondamentali
Applicazioni
Rappresentazione ortogonale
Rappresentazione quotata
Rappresentazione assonometrica
Rappresentazione prospettica
Rappresentazione matematica
Rappresentazione numerica
Costruzione di figure elementari
Costruzione di elementi notevoli
Costruzione di punti e di curve intersezione
Costruzione di figure complesse (o non
l t i)
Costruzione di relazioni notevoli
Studio delle superfici e delle loro proprietà
Curvatura e continuità
Disegno dell’ordine architettonico
Teoria delle ombre e del chiaroscuro
Studio dei poliedri regolari e semiregolari
Prospettiva solida e relative trasformazioni proiettive
Taglio delle pietre e dei legnami (stereotomia)
… … …
Nota
Gli argomenti scritti in corsivo sono
quelli trattati con metodi grafici.
Gli argomenti scritti con carattere
sottolineato sono quelli trattati con
metodi informatici, o che traggono
vantaggio da questo tipo di elaborazione.
Gli altri argomenti, scritti in carattere
tondo, sono trattati in entrambi i modi.
13
Riferimenti
Gli elenchi che seguono non sono certo esaustivi, debbono essere considerati soltanto come riferimenti utili in un primo
approccio al problema.
Università e scuole superiori che sperimentano il rinnovamento degli studi e dell’insegnamento della geometria
descrittiva:
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik della Rheinisch Westfalishe Texhnishe Hochschule di Aachen,
Germania;
University of Miskolc, Department of Descriptive Geometry, Ungheria;
Université Laval (Canada);
Istituto Victor Horta a Bruxelles;
… … …
Saggi e relazioni:
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nuevo enfoque de la geometría descriptiva?, Congreso internacional conjunto xvii ingegraf – xv adm, 2005.
Manuali esplicitamente mirati ad una integrazione dei metodi informatici con i metodi classici della Gd:
Standiford K. Standiford D., Descriptive Geometry, An Integrated Approch Usign AutoCAD, USA 2005;
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