مخروطاني بلوكر (Plücker's conoid)

مخروطاني بلوكر ((الإنجليزية: Plücker's conoid)) هو سطح مسطر سُمّي نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني يوليوس بلوكر. وهو حالة خاصة من مخروطاني قائم، ويُعرف أيضا باسم الإسفين المخروطي (conical wedge)، كما استُعمل له اسم الأسطواني (cylindroid)، إلا أن هذا الاسم قد يُستخدم أيضا للدلالة على الأسطوانة الإهليلجية، ولذلك فهو قد يكون ملتبسا.

مخروطاني بلوكر للحالة ${\displaystyle n=2}$.

الإنشاء الهندسي

مخروطاني بلوكر سطح مسطر، أي يمكن توليده بواسطة حركة مستقيم يسمى المولد.

يُختار محور مستقيم ثابت، ثم يوضع عليه مستقيم مولد بحيث يكون عموديا على المحور. أثناء دوران المولد حول المحور، تتحرك نقطة تقاطعه مع المحور في الاتجاه الموازي للمحور، بحيث تصعد وتهبط بصورة دورية.

في مخروطاني بلوكر، يتم المولد دورة كاملة حول المحور بينما يتحرك صعودا وهبوطا مرتين. وتؤدي المواضع المتعاقبة للمولد إلى تكوين السطح بأكمله.

وبذلك يمكن تصور الإنشاء الهندسي على النحو الآتي:

1. اختيار محور ثابت.

1. وضع مستقيم مولد عموديا على المحور.

1. تدوير المولد حول المحور مع بقائه عموديا عليه.

1. تحريك نقطة تقاطع المولد مع المحور إلى أعلى وإلى أسفل أثناء الدوران.

1. جعل المولد يصعد ويهبط مرتين أثناء إتمامه دورة كاملة حول المحور.

1. تمثل المواضع المتعاقبة للمولد سطح مخروطاني بلوكر.

وبما أن جميع المولدات تقطع المحور بزاوية قائمة، فإن مخروطاني بلوكر يُصنف ضمن المخروطانيات القائمة.

حركة توليد مخروطاني بلوكر.

التمثيل الهندسي

يمكن فهم شكل مخروطاني بلوكر من خلال العلاقة بين حركتين متزامنتين: دوران المولد حول المحور، وحركته في الاتجاه الموازي للمحور.

عندما يدور المولد حول المحور، تتغير نقطة تقاطعه مع المحور بصورة دورية. وفي الحالة الخاصة لمخروطاني بلوكر، تتكرر الحركة الرأسية مرتين خلال دورة كاملة. لذلك تظهر على السطح طيات متكررة ومتناظرة حول المحور.

ولا تُعرّف هذه البنية بمجموعة من النقاط المنفردة، بل بمجموعة المواضع التي يأخذها المستقيم المولد أثناء حركته؛ ومن ثم فإن الخاصية الأساسية للسطح هي كونه سطحا مسطرا.

التعميم

يمكن تعميم مخروطاني بلوكر بتغيير عدد مرات صعود المولد وهبوطه أثناء دورة كاملة حول المحور. ويُرمز إلى عدد هذه التذبذبات بالعدد ${\displaystyle n}$.

عندما يكون ${\displaystyle n=2}$ نحصل على مخروطاني بلوكر المعتاد. أما القيم الأخرى لـ${\displaystyle n}$ فتنتج مخروطانيات قائمة ذات عدد مختلف من الطيات.

مخروطاني معمم للحالة ${\displaystyle n=3}$.

مخروطاني معمم للحالة ${\displaystyle n=4}$.

كما توجد رسوم متحركة في ويكيميديا كومنز توضح عملية توليد السطح مع تغير عدد الطيات.

التمثيل التحليلي

يمكن تمثيل مخروطاني بلوكر، باستخدام الإحداثيات الأسطوانية، بالمعادلات البارامترية التالية:

${\displaystyle x=v\cos u,y=v\sin u,z=\sin 2u.}$

حيث يمثل ${\displaystyle u}$ زاوية دوران المولد حول المحور، بينما يمثل ${\displaystyle v}$ الموضع على المولد.

وتوضح هذه الصيغة التحليلية الإنشاء الهندسي: يدور المولد حول المحور، بينما يتغير ارتفاعه دوريا على طول المحور.

أما التعميم فيُعطى بالصيغة:

${\displaystyle x=v\cos u,y=v\sin u,z=\sin (nu),}$

حيث يحدد ${\displaystyle n}$ عدد الطيات أو عدد التذبذبات أثناء دورة كاملة للمولد.

انظر أيضا

• سطح مسطر
• مخروطاني

المراجع

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, الطبعة الثالثة، CRC Press، 2006.
2. Vladimir Y. Rovenskii، Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE، Birkhäuser، 2009، ص. 277