الهوموتوبيا التركيبية في العمارة والتصميم

الهوموتوبيا التركيبية هي منهج هندسي–تركيبي يهدف إلى نقل مفاهيم الهوموتوبيا من المجال الرياضي التجريدي إلى مجال التصميم المعماري والتشكيل الهندسي، عبر تحويل العلاقات الطوبولوجية إلى أدوات إنشائية قابلة للتطبيق المباشر في توليد الأشكال والفراغات المعمارية.

يرتكز هذا النهج على بناء التحولات الشكلية بصورة تركيبية مباشرة، دون الاعتماد على المعادلات الرياضية الصريحة، بل من خلال سلاسل من الإنشاءات الهندسية المتتابعة التي تضمن الحفاظ على الاستمرارية الشكلية والانسجام البنيوي بين الحالات المختلفة للتكوين المعماري. وبهذا المعنى، تصبح الهوموتوبيا أداة تصميمية، وليست مجرد مفهوم نظري.[13]

في السياق المعماري، تُستخدم الهوموتوبيا التركيبية لتوليد واجهات، ومسارات فراغية، وأنظمة إنشائية تعتمد على التحولات التدريجية، والتشوهات المضبوطة، والعلاقات التوافقية بين العناصر، بما يسمح بإنتاج أشكال معمارية معقدة، لكنها منضبطة من حيث النسب والتنظيم الداخلي.

 

يسمح هذا المنهج بتجاوز التصميم القائم على القياسات العددية المباشرة، واستبداله بمنطق النسب التركيبية والتوافقات الهندسية، مما يعزز الوحدة الشكلية ويزيد من مرونة التصميم، ويُسهم في ربط التفكير الرياضي المجرد بالممارسة المعمارية المعاصرة، كما ورد في دراسة تمهيدية حديثة حول هذا المفهوم في مجال العمارة والتصميم.

المرجع داخل النص:
يشير مفهوم الهوموتوبيا التركيبية في العمارة إلى منهج جديد في بناء التحولات الهندسية التركيبية في التصميم المعماري.
(Synthetic Homotopy for Architecture and Design, preprint, 2025).

أمثلة

brutalist architectural facade, homotopy between two non-homothetic shapes
https://www.academia.edu/164715621/Synthetic_Homotopy_for_Architecture_and_designs

Constructing nonlinear correspondences between two concentric non-homologous ellipses via hyperbolic trajectories.
preprint
https://www.academia.edu/164715621/Synthetic_Homotopy_for_Architecture_and_design

Synthetic Morphing between 2 Triangles
https://isawi.blogspot.com/.../geometric-morphogenesis.html

Geometric Morphing between Two Octagons Inscribed in Non-Homothetic Ellipses
The process starts from two ellipses, within which two octagons are inscribed.
The morphing is then performed between these two octagons, generating a sequence of intermediate polygonal configurations.
The transformation operates entirely through polygonal geometry, based on spatial subdivision, bisection, and progressive reconfiguration of edges and vertices.
The resulting figures are therefore purely polygonal, describing a topological transition between two non-homologous geometric systems.
https://isawi.blogspot.com/.../geometric-morphogenesis.html 

Morphogenesis by Bisection
This process utilizes synthetic descriptive geometry in AutoCAD to create a two-dimensional morphing process between two symmetric irregular octagons, generated not by point-to-point correspondence, but through bisecting polygons that progressively subdivide the intermediate space.
In the transition from abstract diagram to architectural realization, the rhythmic layering of profiles forms a sculptural façade, where solids and voids alternate through a parametric logic.
Geometry becomes not merely form, but spatial process, guiding perception toward a center that is not a fixed point, but a threshold.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html 

Synthetic homotopy between two open U-shaped polygons for the generation of complex architectural spaces.
The geometric construction defines a continuous non-linear transformation between non-homologous planar configurations, producing a progressive spatial sequence. The architectural application results in the parametric modeling of a monumental architectural space, ensuring morphological continuity, control of proportional relationships, and integration between abstract geometry and built form.

https://www.academia.edu/164715621/Synthetic_Homotopy_for_Architecture_and_design

الهوموتوبيا (Homotopy) 

في علم الطوبولوجيا، تُسمّى دالتان مستمرتان من فضاء طوبولوجي إلى آخر متجانستين طوبولوجيًا (هوموتوبيتين) إذا أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عبر تشويه مستمر وتدريجي دون حدوث انقطاعات أو تمزقات. وتُسمّى هذه العملية هوموتوبيا، أي "تحوّل مستمر في الشكل" [1][3].

تُعدّ الهوموتوبيا من المفاهيم الأساسية في الطوبولوجيا الجبرية، حيث تُستخدم لدراسة الخواص التي تبقى ثابتة رغم تغيّر الشكل، مثل الاتصال، وعدد الثقوب، والبنية العامة للفضاء [3][5].

---

الفكرة الأساسية

يمكن فهم الهوموتوبيا بطريقة حدسية عبر مثال بسيط:

إذا كان لدينا مساران مختلفان يصلان بين نفس نقطتي البداية والنهاية، وكان بالإمكان تشويه أحد المسارين تدريجيًا ليصبح الآخر دون قطع أو قفز، فإن هذين المسارين يُعتبران متجانسين طوبولوجيًا.

مثال شهير هو تحويل شكل الكعكة الدائرية إلى فنجان القهوة: فكلاهما يحتوي على ثقب واحد، ولذلك يمكن تشويه أحدهما إلى الآخر دون قطع، مما يجعلهما متكافئين من حيث الهوموتوبيا [3].

---

التعريف المبسّط

تُعرَّف الهوموتوبيا بأنها تحوّل مستمر في الزمن يسمح بالانتقال التدريجي من دالة إلى أخرى، بحيث:

• يكون لدينا شكل أولي.

• ثم يبدأ هذا الشكل بالتغيّر تدريجيًا.

• وفي نهاية التحوّل نحصل على الشكل النهائي.

وخلال هذا التحوّل لا يحدث تمزيق أو فصل أو قفز [1][4].

---

أمثلة بسيطة

1. تشويه المسارات

يمكن تشويه أي خط منحني بين نقطتين إلى خط مستقيم بينهما إذا لم توجد عوائق. في هذه الحالة، يكون المساران متجانسين طوبولوجيًا.

2. القرص والنقطة

يمكن ضغط قرص دائري كامل تدريجيًا حتى يتحول إلى نقطة واحدة، ولذلك يُقال إن القرص قابل للانكماش طوبولوجيًا ومكافئ للنقطة من حيث الهوموتوبيا [3][5].

3. الشريط العادي وشريط موبيوس

يمكن تشويه كلٍّ منهما إلى دائرة واحدة، ولذلك فهما متكافئان هوموتوبيًا، رغم اختلاف شكلهما الهندسي [6].

---

التكافؤ الهوموتوبي (Homotopy equivalence)

يقال عن فضاءين طوبولوجيين إنهما متكافئان هوموتوبيًا إذا أمكن تحويل كلٍّ منهما إلى الآخر عبر تشويهات مستمرة.

بعبارة مبسطة:

فضاءان مختلفان شكليًا قد يكونان متكافئين طوبولوجيًا إذا امتلكا البنية العامة نفسها.

أمثلة

• الفضاء الإقليدي بكامل أبعاده مكافئ هوموتوبيًا لنقطة واحدة، لأنه يمكن ضغطه تدريجيًا نحو مركزه [5].

• 
  

---

الهوموتوبيا مقابل التماثل الطوبولوجي

التماثل الطوبولوجي (Homeomorphism) أقوى من الهوموتوبيا.

• في التماثل الطوبولوجي يجب أن يكون هناك تطابق كامل وقابل للعكس.

• في الهوموتوبيا يُسمح بالتشويه التدريجي.

مثال:

القرص الدائري ليس مماثلًا طوبولوجيًا للنقطة، لكنه مكافئ هوموتوبيًا لها [7].

---

أنواع الهوموتوبيا

1. الهوموتوبيا النسبية

وهي هوموتوبيا تحافظ على ثبات جزء معين من الشكل أثناء التشويه.

تُستخدم هذه الفكرة في دراسة المسارات المغلقة والمجموعات الأساسية [5].

2. الإيزوتوبيا (Isotopy)

وهي نوع خاص من الهوموتوبيا يشترط أن تكون جميع الأشكال الوسيطة قابلة للتماثل الطوبولوجي.

تُستخدم بكثرة في نظرية العقد والهندسة التفاضلية [9].

مثال:

ليس كل عقدتين متجانستين يمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عبر إيزوتوبيا، لأن بعض التشويهات قد تتطلب قطع الفضاء المحيط.

3. الهوموتوبيا الزمنية

تُستخدم في الهندسة النسبية لدراسة المسارات التي تتحرك دائمًا نحو المستقبل دون الرجوع للخلف في الزمن [10].

---

الأهمية الرياضية

تكمن أهمية الهوموتوبيا في أنها:

• تسمح بتصنيف الفضاءات وفق بنيتها العامة بدل تفاصيل شكلها.

• تُستخدم في تعريف المجموعات الأساسية ومجموعات الهوموتوبيا العليا [5].

• تمثّل الأساس النظري لعدد كبير من المفاهيم في الطوبولوجيا الجبرية.

---

تطبيقات

تُستخدم الهوموتوبيا في:

• حل المعادلات الجبرية والتفاضلية عددياً.

• النمذجة الرياضية.

• الهندسة التفاضلية.

• الفيزياء النظرية.

• النماذج التوليدية في الذكاء الاصطناعي والأنظمة الديناميكية الحديثة [11][12].

---

المراجع

1. Homotopy Definition & Meaning, Retrieved 22 April 2022.

2. Homotopy Type Theory Discussed - Computerphile, YouTube, 2017.

3. Homotopy | mathematics, Encyclopedia Britannica.

4. Path homotopy and separately continuous functions, Mathematics Stack Exchange.

5. Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

6. Singh, T. B., Introduction to Topology, Springer, 2019.

7. Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.

8. Spanier, E., Algebraic Topology, Springer, 1994.

9. Weisstein, E. W., Isotopy, MathWorld.

10. Monroe, H., Are Causality Violations Undesirable?, Foundations of Physics, 2008.

11. Allgower, E. L., Introduction to numerical continuation methods, SIAM, 2003.

12. Rout, S. et al., Probabilistic Forecasting for Dynamical Systems, arXiv, 2025.

13. https://www.academia.edu/164715621/Synthetic_Homotopy_for_Architecture_and_design

Application of the golden ratio and harmonic proportions in architectural facade design- تطبيق للنسبة الذهبية والرباعية التوافقية على واجهة معمارية

الرباعية التوافقية وتطبيقها في العمارة والتصميم

بالإشارة مثلا إلى تكوين واجهة معمارية، يمكن البدء بقطعة مستقيمة أفقية AB تمثل عرض الواجهة. ثم يتم تحديد النقطة الثالثة  C وفقا لإنشاء توافقي.

نرسم مربع يكون AB أحد أضلاعه، ثم نحدد منتصف القطعة AB كمركز لدائرة تمر برأس المربع العلوي وحيث تتقاطع مع  AB نحصل على النقطة المطلوبة C التي تحقق النسبة توافقية بالنسبة لنقطتين AB . وهذا يعني ان نسبة الطول الكلي إلى الجزء الأطول يساوي نسبة الجزء الأطول إلى الأصغر (انظر الرسمة المرفقة)

النسبة الذهبية

ولتحديد النقطة الرابعة D، يُطبَّق إجراء النسبة التوافقية أو الرباعية التوافقية)، مما يسمح بإنشاء الرباعية التوافقية A وB وC وD. وبذلك لا تكون النقطة D ناتجة عن اختيار اعتباطي، بل نتيجة مباشرة لمنظومة إنشائية قائمة على العلاقات التوافقية.

بهذه الطريقة، لا يتم تحديد الأبعاد والتقسيمات المعمارية اعتمادًا على قيم عددية مسبقة، بل وفق نِسَب هندسية توافقية، ما يضمن توازنًا تركيبيًا داخليًا وانسجامًا بصريًا طبيعيًا.

---

تشير الرباعية التوافقية ، بشكل عام ، الى عملية تقسيم مستقيم إلى جزأين، بحيث يكون الجزء الأطول مقسومًا على الجزء الأصغر
 مساويًا للطول الكامل مقسومًا على الجزء الأطول . اعتقد الفيثاغوريون أن هذه النسبة تمثل التناغم الموجود في الأنماط الطبيعية.

تطبيق للنسبة الذهبية والرباعية التوافقية على واجهة معمارية Application of the golden ratio and harmonic proportions in architectural facade design

المزايا المعمارية لهذا الأسلوب

يقدّم هذا النهج عدة فوائد تصميمية ومعمارية، من أهمها:

• تحقيق الانسجام البصري: تؤدي العلاقات التوافقية إلى توليد نسب متوازنة ومتناغمة، تسهم في راحة العين واستقرار التكوين.

• التحرر من الأبعاد العددية الجامدة: يسمح الاعتماد على النِّسَب بدل القيم الثابتة بتوليد أشكال قابلة للتكبير والتصغير دون فقدان التوازن.

• تعزيز الوحدة التركيبية: تنشأ جميع العناصر من منطق هندسي واحد، مما يحقق وحدة شكلية واضحة.

• إنتاج إيقاع معماري منضبط: يسمح تكرار العلاقات التوافقية بتنظيم الفتحات، الأعمدة، والفراغات بطريقة إيقاعية متناغمة.

• إثراء التعبير المعماري: يتيح هذا الأسلوب توليد تعقيد شكلي غني دون الوقوع في العشوائية أو الفوضى البصرية.

• إمكانية الدمج مع التصميم البارامتري المعاصر: يتوافق هذا المنهج مع أدوات النمذجة الرقمية القائمة على العلاقات النسبية والتحكم البارامتري.

طريقة شتاينر لتحديد النسبة التبادلية على المخروطيات

الطريقة الهندسية 

لتحديد النقطة الرابعة D بحيث تشكل مع النقاط A, B, C رباعياً توافقياً على قطع مخروطي، نتبع الآتي:

1. نرسم المماس عند النقطة A والمماس عند النقطة B.
2. نقطة تقاطع المماسين نسميها S (وهي قطب المستقيم AB).
3. نرسم الخط المستقيم الواصل بين S والنقطة المعلومة C.
4. نقطة تقاطع هذا الخط مع القطع المخروطي هي النقطة المطلوبة D.

القوانين 

في حالة الدائرة، تكون العلاقة بين أطوال الأوتار كالتالي:
(AC / BC) = (AD / BD)

أو بصيغة الضرب:
AC * BD = BC * AD

وبالنسبة للنسبة المزدوجة (Cross-ratio) التي ذكرتَها:
النسبة المزدوجة (A, B; C, D) = -1

---

ملاحظات تقنية حول "القطع الزائد" (Hyperbola)

تظل هذه القاعدة صالحة حتى في الحالات المعقدة:

1. القطب في المالانهاية: إذا كان المماسان عند A و B متوازيين، فإن النقطة S تقع في المالانهاية. في هذه الحالة، المستقيم SC يكون ببساطة خطاً يوازي المماسين ويمر بالنقطة C.
2. النقاط على فروع مختلفة: تعمل الطريقة بدقة حتى لو كانت النقطة C على فرع من القطع الزائد والنقطة D على الفرع الآخر. هندسة شتاينر لا تفرق بين فروع المنحنى لأنها تعتبره كياناً متصلاً في المستوى الإسقاطي.

الطريقة التركيبية لتحديد النقطة الرابعة

لإيجاد النقطة الرابعة (د) التي تشكل رباعياً توافقياً مع ثلاث نقاط معلومة (أ، ب، ج) على قطع ناقص أو دائرة، يتم اتباع الخطوات التالية بناءً على نظرية القطب والقطبي:

• إيجاد القطب: نرسم الخطين المماسين للقطع المخروطي عند النقطتين (أ) و (ب). نقطة تقاطع هذين المماسين تسمى النقطة (س)، وهي تمثل "قطب" الخط الواصل بين (أ) و (ب).
• ايضال النقطة (س) بالنقطة الثالثة المعلومة (ج) بواسطة خط مستقيم.
• تحديد تقاطع الخط (س ج) مع المخروطية في نقطتين؛ النقطة الأولى هي (ج) والنقطة الثانية هي (د). هذه النقطة (د) هي النقطة التوافقية المطلوبة.

إنشاء الرباعية التوافقية على قطع مخروطي (طريقة شتاينر)

الخصائص الهندسية

• النسبة المزدوجة للحزمة الشعاعية المنطلقة من أي نقطة (ن) على المنحنى باتجاه النقاط الأربعة تكون دائماً -1.
• في حالة الدائرة، لا يتم قياس النسبة عن طريق الأقواس المنحنية، بل عن طريق أطوال الأوتار المستقيمة. الرباعي يكون توافقياً إذا كان حاصل ضرب طول الوتر (أ ج) في طول الوتر (ب د) مقسوماً على حاصل ضرب طول الوتر (ب ج) في طول الوتر (أ د) يساوي واحد.
• المستقيم الواصل بين (ج) و (د) يمر دائماً بقطب المستقيم الواصل بين (أ) و (ب)، مما يجعل الوترين (أ ب) و (ج د) أوتاراً مترافقة توافقياً.

Con riferimento alla composizione di una facciata architettonica, possiamo iniziare da un segmento orizzontale AB, che rappresenta la larghezza principale del fronte. A partire da questo segmento, determiniamo un terzo punto C secondo una costruzione armonica.

Si costruisce un quadrato avente AB come lato. Individuato il punto medio di AB, si ribalta il vertice superiore del quadrato sul segmento AB. In questo modo si ottiene il punto C, tale che le lunghezze risultano in proporzione armonica, ovvero AB : BC = AC : AB.

A questo punto, per determinare il quarto punto D, si applica il procedimento del birapporto, costruendo geometricamente la quaterna armonica A, B, C, D. Il punto D non è quindi fissato arbitrariamente, ma emerge come conseguenza diretta della costruzione proporzionale.

In questo modo, la definizione delle distanze e delle partizioni della facciata non dipende da valori numerici prefissati, ma da relazioni armoniche, garantendo un equilibrio compositivo intrinseco, coerente e scalabile. Tale approccio consente di generare articolazioni formali controllate, mantenendo unità, ritmo e coerenza geometrica nell’organizzazione del prospetto.

Riassunto della costruzione 

Per trovare D dato A, B, C su una conica:

1. Trova la tangente in A e la tangente in B.
2. Sia S il punto dove le due tangenti si incrociano.
3. Traccia la retta che collega S al punto C.
4. Il punto in cui questa retta taglia di nuovo la conica è D.
5. Risultato: Il rapporto incrociato (A, B; C, D) = -1.

La proprietà metrica 

Per un quadrilatero armonico ABCD su un cerchio, la relazione tra le lunghezze dei lati (corde) è:
AC * BD = 2 * AB * CD (se AC e BD sono le diagonali)
Oppure, espressa come rapporto:
(AC / BC) / (AD / BD) = 1 (che corrisponde alla proporzione armonica).

Cosa succede nel caso dell'Iperbole?

La costruzione di Steiner che hai descritto (usando le tangenti e il polo) funziona perfettamente anche per l'iperbole, ma con alcune particolarità visive:

1. Il Polo all'infinito: Se le tangenti nei punti A e B sono parallele (cosa che accade se AB è un diametro dell'iperbole), il punto di intersezione S si trova all'infinito. In questo caso, la retta che passa per C e S sarà semplicemente una retta parallela alle tangenti.
2. Punti su rami diversi: La bellezza della geometria proiettiva è che i punti A, B, C, D possono trovarsi su rami diversi dell'iperbole. La costruzione del polo e della polare rimane valida e la proporzione armonica viene mantenuta.
3. Le Asintoti: Se una delle rette della costruzione coincide con un asintoto, il punto di intersezione "esce" dal piano euclideo, ma il calcolo proiettivo della retta di Steiner non fallisce mai.

Steiner’s Method for Harmonic Quadruples

In projective geometry, four points (A, B, C, D) on a conic form a harmonic quadruple if their cross-ratio is -1. According to Steiner's Theorem, this ratio remains constant regardless of the point on the conic from which these four points are viewed.

The Geometric Construction (Step-by-Step):
To find the fourth point D given A, B, and C:

1. Draw the tangent line to the conic at point A.
2. Draw the tangent line to the conic at point B.
3. Let S be the intersection point of these two tangents (S is the "Pole" of the line AB).
4. Draw a straight line connecting S to the third point C.
5. The point where the line SC intersects the conic again is the required point D.

---

Mathematical Properties 

1. The Cross-Ratio:

Cross-Ratio (A, B; C, D) = -1

2. Metric Property (Specific to the Circle):
In a circle, the relationship between the lengths of the chords is:
(AC / BC) = (AD / BD)
or
AC * BD = BC * AD

3. Pole and Polar Relationship:
The line AB is the "Polar" of point S.
The line CD is the "Polar" of the intersection point of the tangents at C and D.
In a harmonic quadruple, the line CD must pass through the pole of AB.

---

Special Case: The Hyperbola

The beauty of Steiner’s method is its consistency across all conic sections:

• Opposite Branches: Points C and D can lie on different branches of a hyperbola; the construction involving point S remains valid.
• Points at Infinity: If the tangents at A and B are parallel, point S lies at infinity. The line SC is then drawn parallel to the tangents to find D.

End