سطح لولبي (بالإيطالية: Elicoide)

لسطح اللولبي ((بالإنجليزية: Helicoid)، (بالإيطالية: Elicoide)) هو سطح ينتج من حركة لولبية منتظمة حول محور ثابت، تجمع بين دوران حول المحور وانتقال على طوله بنسبة ثابتة، تسمى خطوة اللولب.

سطوح لولبية.

الإنشاء الهندسي

يمكن إنشاء السطح اللولبي بتحريك خط حركة لولبية منتظمة حول محور ثابت. وإذا كان الخط مستقيما، فإن السطح الناتج يسمى سطحا لولبيا مسطرا، لأن السطح يتكون من مجموعة من المستقيمات المولدة.

في أثناء الحركة، يدور المولد حول المحور وفي الوقت نفسه ينزلق على طوله. ويكون مقدار الانتقال مرتبطا بزاوية الدوران بنسبة ثابتة، بحيث يعود المولد إلى اتجاهه السابق بعد دورة كاملة ولكن في موضع متقدم على المحور بمقدار يساوي خطوة اللولب.

حركة مولد مستقيم لتكوين سطح لولبي قائم.

عندما يكون المولد المستقيم عموديا على المحور، يسمى السطح سطحا لولبيا قائما. وهو حالة خاصة من السطح اللولبي المسطر، كما أنه سطح مسطر وسطح أدنى.

العلاقة بالمخروطانيات

يمكن اعتبار السطح اللولبي القائم حالة خاصة من [[المخروطاني القائم. وفي هذه الحالة يتحرك المولد المستقيم حول المحور مع تقدم منتظم على طوله.

ويختلف عن مخروطاني بلوكر ومخروطاني واليس في أن حركة المولد في السطح اللولبي تكون تقدما منتظما على طول المحور، بينما تتبع مولدات المخروطانيات الأخرى مسارات مختلفة على المحور.

الخصائص

• السطح اللولبي المسطر سطح مسطر يتكون من مجموعة من المستقيمات المولدة.
• السطح اللولبي القائم هو سطح مسطر وأدنى.
• تقاطع السطح اللولبي مع أسطوانات لها المحور نفسه يعطي حلزونات لها خطوة السطح اللولبي نفسها.
• إذا أصبحت خطوة الحركة اللولبية صفرا، يتحول السطح إلى سطح دوراني.

مثال عن سلسلة قطبية لسطح حلزوني مُدرج داخل كرة ذات دوال لوكسودرومية

نتج النموذج بدءا من سطح حلزوني واحد محاط داخل كرة، حيث الدوال اللوكسودرومية تنتمي للكرة نفسها، بوصف الدوال ترجمة لحركة حلزونية منتظمة ذات ميل ثابت؛ ويُعتمد هذا السطح الحلزوني كعنصر توليدي مكتمل، ثم يُضاعف لاحقا بواسطة سلسلة قطبية من ثماني وضعيات حول المحور الرأسي للكرة.

معرض الصور

• 
  سطح لولباني مركب يتكون من عدة هليكويدات بانصاف اقطار مختلفة
• 
  سطحان لولبيان قائمان يشتركان بخط لولبي واحد

انظر أيضا

• مخروطاني
• مخروطاني قائم
• سطح مسطر
• سطح أدنى
• حلزون (هندسة)
• مخروطاني بلوكر
• مخروطاني واليس

المراجع

1. M. Berger وB. Gostiaux، Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces، Springer، 1988.
2. Eric W. Weisstein، "Helicoid"، MathWorld، Wolfram Research.
3. "Conoid"، Encyclopedia of Mathematics.

مخروطاني واليس (Wallis's conical edge)

من المقالات التي كتبتها في ويكيبيديا العربية
د. حسن العيسوي- Hasan ISAWI

المخروطاني القائم (Right conoid)

من المقالات التي كتبتها في ويكيبيديا العربية
د. حسن العيسوي- Hasan ISAWI

منحنى الانزلاق (Glissette)

منحنى الانزلاق ((بالإنجليزية: Glissette)) هو منحنى هندسي يتولد من حركة منحنى متحرك ينزلق أو يتحرك بالتماس مع منحنيين ثابتين. ويمكن أن يكون المنحنى الناتج هو المحل الهندسي لنقطة ثابتة بالنسبة إلى المنحنى المتحرك، أو غلافا لمستقيم أو منحنى مرتبط به.

الإنشاء الهندسي

تُنشأ الغليزيتة من حركة منحنى أو قطعة هندسية متحركة تخضع لشروط تماس مع منحنيين ثابتين. ويمكن أن يكون الناتج محل نقطة ثابتة بالنسبة إلى الشكل المتحرك، أو غلافا للعنصر المتحرك.

قطعة مستقيمة تنزلق بين مستقيمين

حركة قطعة مستقيمة تنزلق بين مستقيمين متعامدين، وتوليد قطع ناقص بواسطة نقطة ثابتة عليها.

من أبسط الإنشاءات قطعة مستقيمة ثابتة الطول ينزلق طرفاها على مستقيمين متعامدين.

أثناء الحركة، تتغير مواضع القطعة مع بقاء طولها ثابتا. وإذا اختيرت نقطة ثابتة بالنسبة إلى القطعة، فإن هذه النقطة ترسم منحنى يكون في هذه الحالة قطعا ناقصا.

وهكذا يمكن إنشاء القطع الناقص دون البدء بمعادلته: يُحرّك المستقيم بحيث يبقى طرفاه على المستقيمين المتعامدين، ثم تُتبع نقطة ثابتة عليه. ويكون مجموع المواضع التي تمر بها النقطة هو المنحنى الناتج.

إذا كانت النقطة المختارة هي منتصف القطعة، يكون المحل دائرة.

غلاف القطعة المتحركة

غلاف المواضع المتعاقبة لقطعة مستقيمة تنزلق بين مستقيمين متعامدين، مكوّنا أسترويد.

يمكن في الإنشاء نفسه ألا نتتبع نقطة على القطعة، بل نتتبع **القطعة المتحركة نفسها**.

فالمواضع المتعاقبة للقطعة المستقيمة تشكل عائلة من المستقيمات، ويكون لها غلاف هو منحنى يسمى الأسترويد (astroid).

وبذلك تنتج الحركة الهندسية نفسها منحنيين مختلفين بحسب العنصر الذي نتتبعه:

• نقطة ثابتة على القطعة المتحركة ← قطع ناقص.
• القطعة المتحركة نفسها ← غلاف هو الأسترويد.

وهذا يوضح طبيعة الغليزيتة بوصفها نتيجة لحركة هندسية مقيدة، وليس مجرد منحنى يُعرّف بمعادلة.

العلاقة بين الغليزيتة (

roulette) والمنحنى المدحرج

ترتبط الغليزيتة ارتباطا وثيقا بمفهوم المنحنى المدحرج، إذ ينشأ كلاهما من حركة مستمرة لشكل هندسي في المستوى، ولكن مع اختلاف نوع الحركة.

في المنحنى المدحرج، تتحرك منحنى متحرك بالنسبة إلى منحنى ثابت عن طريق التدحرج عليه دون انزلاق، ويكون محل نقطة مرتبطة بالمنحنى المتحرك هو المنحنى المدحرج.

أما في الغليزيتة، فتتحرك منحنى أو قطعة هندسية بحيث تبقى على تماس أو تنزلق على منحنيين ثابتين أو أكثر. ويمكن أن يكون الناتج محل نقطة مرتبطة بالشكل المتحرك، أو غلافا لخط أو منحنى مرتبط به. ومن ثم يمكن التمييز بينهما هندسيا على النحو الآتي:

• المنحنى المدحرج: الحركة الأساسية هي التدحرج على منحنى ثابت.
• الغليزيتة: الحركة الأساسية هي الانزلاق مع الحفاظ على شروط التماس مع منحنيين ثابتين أو أكثر.

ومع ذلك، فالعلاقة بينهما أعمق من مجرد التشابه في طريقة التوليد؛ إذ يمكن في بعض الحالات تحويل مسألة غليزيتة إلى مسألة منحنى مدحرج، ولذلك تدرس الغليزيتات والمدحرجات معا في الهندسة الكلاسيكية للمنحنيات.

انظر أيضا

• منحنى مدحرج
• محل هندسي
• غلاف منحنى
• قطع ناقص
• نجمة رباعية
• مخروط زائدي

المراجع

1. William H. Besant، Notes on Roulettes and Glissettes، الطبعة الثانية الموسعة، Deighton, Bell & Co.، كامبريدج، 1890، ص. 51.
2. E. H. Lockwood، A Book of Curves، Cambridge University Press، كامبريدج، 1967، الفصل 20، الصفحات 160–165
3. Robert C. Yates، A Handbook on Curves and Their Properties، J. W. Edwards، آن آربر، 1952، الصفحات 108–112. 

وصلات خارجية

• Glissette، MathWorld.