ellisse per 5 punti- Construction of an Ellipse, given 5 points- خط باسكال

Dr. Hasan ISAWI

https://assex.altervista.org/geometria/ellss-5p/ulthm17.htm

تسمح لنا نظرية باسكال   بانشاء مخروطية عن طريق تعيين 5 نقاط بطريقة اعتباطية. ولكنني احاول بدلاً من ذلك، من  تحديد المخروطية عن طريق تعيين 3 نقاط فقط، ومن ثم تحديد نقاطها المقابلة. اي تحديد مباشر للمخروطية من خلال 6 نقاط.

خط  باسكال
لفهم ما إذا كانت ست نقاط محددة بطريقة اعتباطية تنتمي إلى قطع مخروطي، فمن الضروري اجراء التقابل المتقاطع بين تلك النقاط، إذا كانت نقاط تقاطع الخطوط الناتجة تنتمي لنفس الخط فهذا يعني أن النقاط الست تنتمي إلى مخروطية. التي يمكن إكمالها من خلال إجراء التقابل بين خمس نقاط من الست نقاط المحددة. والتي بموجبها تلتقي الخطوط التي تمر بالنقاط المشتركة للخطوط غير المتقابلة عند النقطة U مركز التقابل، والنقاط المشتركة للخطوط المتقابلة تكون نقاط من المخروطية.

خط باسكال

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Pascal line

La retta di Pascal

per capire se sei punti stabiliti a piacere appartengono ad una conica, bisogna determinare il prodotto in croce tra i punti, se i punti comuni alle rette del prodotto appartengono ad una stessa retta significa che i 6 punti appartengono ad una conica. la quale può essere completata con il procedimenti dei 5 punti individuano una conica. secondo il quale le rette congiungenti i punti comuni a rette non corrispondenti si incontrano nel punto U, centro della proiettività.; e i punti comuni a rette non corrispondenti sono allineati con il centro della proiettività

Alcuni concetti chiave della geometria proiettiva, in particolare la retta di Pascal, le coniche e il centro della proiettività.

La retta di Pascal: Il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi fondamentali della teoria delle coniche. Stabilisce che se sei punti sono disposti in ordine su una conica, essi individuano un esagono inscritto in essa. Il teorema fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica [1].

Stabiliti a piacere 6 punti, per verificare se essi appartengono a una conica, si può determinare il prodotto in croce tra i punti. Se i punti comuni alle rette del prodotto appartengono a una stessa retta, allora essi appartengono a una conica.

Cinque punti individuano una conica:
Cinque punti generici determinano una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica [1]. Questo è noto come il procedimento dei 5 punti [3].


Centro della proiettività: In geometria proiettiva, una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo. È definita come una corrispondenza tra punti dello spazio euclideo, ottenuta per composizione di prospettività, ovvero tramite una successione finita di proiezioni rispetto a un centro e sezioni con un piano [4].

Construction of an Ellipse, given 5 points

Given five points $(R,R^{\prime },A,B,C)$ of an ellipse, we want to determine a sufficient number of points to draw it.

Procedure

1. Choose two points as projection centers, say $R$ and $C$.
2. Draw the projection lines $a-a^{\prime }$ and $b-b^{\prime }$ from $R$ and $C$, respectively.
3. Find the intersection points $E$ and $F$ of $a-a^{\prime }$ and $b-b^{\prime }$.
4. The line $EF$ passes through the center of the ellipse.
5. Draw the projection lines $c-c^{\prime }$ from $E$ and $F$.
6. Find the intersection points $G$ and $H$ of $c-c^{\prime }$ and $b-b^{\prime }$.
7. The line $GH$ passes through the center of the ellipse.
8. The center of the ellipse is the intersection of $EF$ and $GH$.
9. To find another point on the ellipse, draw a line $d^{\prime }$ that intersects $c$.
10. Project $I$ from the center of the ellipse to find the point $L$ on $c^{\prime }$.
11. Project $L$ from $R$ to find the line $d$.
12. The intersection of $d$ and $d^{\prime }$ is another point on the ellipse.

Summary

• Points common to corresponding lines are points of the ellipse.
• Points common to non-corresponding lines are aligned with the center of the projection.

Translation

Costruzione di un'ellisse, dati 5 punti

Dati cinque punti $(R,R^{\prime },A,B,C)$ di un'ellisse, si vuole determinare un numero sufficiente di punti per disegnarla.

Procedura

1. Si scelgono due punti come centri di proiezione, per esempio $R$ e $C$.
2. Si tracciano le rette proiettanti $a-a^{\prime }$ e $b-b^{\prime }$ da $R$ e $C$, rispettivamente.
3. Si trovano i punti d'intersezione $E$ e $F$ di $a-a^{\prime }$ e $b-b^{\prime }$.
4. La retta $EF$ passa attraverso il centro dell'ellisse.
5. Si tracciano le rette proiettanti $c-c^{\prime }$ da $E$ e $F$.
6. Si trovano i punti d'intersezione $G$ e $H$ di $c-c^{\prime }$ e $b-b^{\prime }$.
7. La retta $GH$ passa attraverso il centro dell'ellisse.
8. Il centro dell'ellisse è l'intersezione di $EF$ e $GH$.
9. Per trovare un altro punto sull'ellisse, si traccia una retta $d^{\prime }$ che interseca $c$.
10. Si proietta $I$ dal centro dell'ellisse per trovare il punto $L$ su $c^{\prime }$.
11. Si proietta $L$ da $R$ per trovare la retta $d$.
12. L'intersezione di $d$ e $d^{\prime }$ è un altro punto sull'ellisse.

Riepilogo

• Punti comuni a rette corrispondenti sono punti della conica.
• Punti comuni a rette non corrispondenti sono allineati con il centro della proiezione.

Construction of an Ellipse, given 5 points

Given 5 points (R, R', A, B, C). of an ellipse, we want to determine a sufficient number of points to draw it.

Procedure

Choose two points as projection centers, from them draw the projection lines a-a', b-b', c-c' (points common to corresponding lines are the points of the conic).

Points common to non-corresponding lines are aligned with the center of the projectivity.

Find the point of intersection between the two lines a', b' Find the point of intersection between a, b' Connect the intersection points E, F thus identifying a line suitable for identifying the center of the projectivity

Costruzione di un Ellisse, dati 5 punti

Dati 5 punti (R, R', A, B, C).di un ellisse, si vuole determinare un numero sufficiente di punti  per disegnarla.

Procedura

1. Si scelgono due punti come centri di proiezione, da essi si tracciano le rette proiettanti a-a', b-b', c-c' (punti comuni a rette corrispondenti sono i punti della conica).

Punti comuni a rette non corrispondenti sono allineati con il centro della proiettività.
Si trova il punto d'intersezione tra le due rette a', b

Si trova il punto d'intersezione tra a, b'

Si uniscono i punti d'intersezione E, F

individuando cosi una retta atta ad individuare il centro della proiettività

Si trova il punto d'intersezione tra b', c

Si trova il punto d'intersezione tra le rette c', b (esterno rispetto al foglio) e si unisce con il punto G

Si trova il punto d'intersezione tra le rette a', c

Si trova il punto d'intersezione tra le rette a, c' (esterno rispetto al foglio) e si unisce con il punto H

le rette congiungenti i punti comuni a rette non corrispondenti si incontrano nel punto U, centro della proiettività.

Punti comuni a rette non corrispondenti sono allineati con il centro della proiettività

si vuole individuare un altro puto dell'ellisse e perciò si traccia, in modo arbitrario,  la retta d'

si opera  il prodotto in croce per individuare la retta d, con la procedura seguente:

1 - Le rette d', c si incontrano nel punto I

2- si proietta il punto I dal centro della proiettivita U  individuando il punto L sulla retta C'

2- si proietta il punto L dal centro R  individuando la retta d

l'incontro tra le  rette corrispondenti d, d' individua un altro punto dell'ellisse.

con la stessa procedura, eseguita in precedenza,  si possono trovare altri punti per disegnare l'ellisse

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