سطح كاتالان
سطح كاتالان (Catalan surface) هو سطح مسطر تكون جميع رواسمه المستقيمة موازية لمستوى ثابت يسمى المستوى الدليلي.
دُرست هذه الأسطح من قبل عالم الرياضيات البلجيكي أوجين شارل كاتالان في بحثه Mémoire sur les surfaces gauches à plan directeur، المنشور في Journal de l'École polytechnique سنة 1843، حيث تناول الأسطح المسطرة ذات المستوى الدليلي وطرق بنائها ودراستها.
التعريف الهندسي
يتكون سطح كاتالان من عائلة مستمرة من المستقيمات، تسمى رواسم. وتكون جميع هذه الرواسم موازية لمستوى ثابت واحد هو المستوى الدليلي.
وبذلك لا يلزم أن تكون الرواسم متوازية مع بعضها، ولكن اتجاهها يتغير من راسم إلى أخر مع بقاء جميع الاتجاهات موازية للمستوى الدليلي نفسه. ويترتب على ذلك أن مخروط الاتجاهات المرتبط بالرواسم يكون مستويا.
الإنشاء الهندسي
يمكن إنشاء سطح كاتالان بصورة هندسية انطلاقا من منحنيين أو مسارين دليليين ومستوى دليلي ثابت. تؤخذ نقاط متقابلة على المنحنيين، ثم يصل كل زوج من النقاط بمستقيم يكون موازيا للمستوى الدليلي. وعند تكرار هذه العملية بصورة مستمرة تتكون عائلة من الرواسم (او المولدات) المستقيمة التي تغطي السطح.
وهكذا يمكن النظر إلى السطح بوصفه ناتجا عن تحريك مستقيم في الفضاء مع تغير اتجاهه، بشرط أن يظل اتجاه كل مولدة موازيا للمستوى الدليلي الثابت.
هذه الطريقة تجعل سطح كاتالان قريبا من مفهوم الأسطح المسطرة في الهندسة الوصفية، حيث يكون تحديد السطح مرتبطا مباشرة بعائلة المولدات وقواعد توجيهها.
أمثلة
تشمل أسطح كاتالان عدة أسطح مسطرة معروفة، من بينها:
الأسطوانات: تكون جميع المولدات فيها متوازية في اتجاه ثابت، وبالتالي فهي موازية لأي مستوى يحتوي ذلك الاتجاه. المخروطيات: تظهر عندما تلتقي المولدات في نقطة أو تنشأ من بنية مخروطية خاصة. الأسطح المخروطية الموجهة (الكونويدات): وهي أسطح مسطرة تكون مولداتها موازية لمستوى دليلي ثابت، كما تمر في الحالة الخاصة من خلال مستقيم ثابت يسمى محور الكونُويد. الأسطح الحلزونية المسطرة ذات المستوى الدليلي: وهي حالات من الأسطح الحلزونية تكون مولداتها موازية لمستوى ثابت.
الكونُويد كحالة خاصة
إذا كانت جميع مولدات سطح كاتالان تقطع مستقيما ثابتا، يصبح السطح حالة خاصة تسمى كونُويدا (Conoid). ويظل المستوى الذي تكون المولدات موازية له هو المستوى الدليلي للسطح.
ويظهر هنا اختلاف مهم بين التعريف العام لسطح كاتالان وتعريف الكونُويد: في سطح كاتالان يشترط فقط أن تكون المولدات موازية لمستوى ثابت، بينما يضيف الكونُويد شرط مرور جميع المولدات بمستقيم ثابت.
العلاقة بالأسطح المسطرة
سطح كاتالان هو، أولا، سطح مسطر. ويتميز عن كثير من الأسطح المسطرة الأخرى بقيد هندسي على اتجاه المولدات. ففي حين يمكن لعائلة المولدات في سطح مسطر عام أن تتخذ اتجاهات فضائية مختلفة دون قيد مستو، تظل اتجاهات مولدات سطح كاتالان مرتبطة بمستوى دليلي واحد ثابت.
ولهذا يمثل مفهوم المستوى الدليلي وسيلة هندسية مباشرة لتمييز هذه الفئة من الأسطح داخل عائلة الأسطح المسطرة.
العلاقة بالسطح الحلزوني
يمثل السطح الحلزوني المسطر ذو المستوى الدليلي حالة خاصة من أسطح كاتالان. ففي هذا النوع من الأسطح تتحرك المولدات المستقيمة في حركة حلزونية حول محور، وتكون جميعها موازية لمستوى ثابت. وعندما يكون المولد متعامدا مع محور الحركة يظهر الهليكويد ذو المستوى الدليلي، الذي يعرف أيضا في بعض المراجع بالهليكويد العادي.
وهذا يوضح أن كلمة «كاتالان» في هذا السياق تصف خاصية اتجاه المولدات، في حين تصف كلمة «حلزوني» الحركة الهندسية التي تولد السطح.
التمييز عن السطح الأدنى لكاتالان
ينبغي عدم الخلط بين سطح كاتالان والسطح الأدنى لكاتالان.
فالسطح الأدنى لكاتالان هو سطح أدنى غير مسطر معروف في الهندسة التفاضلية، درسه كاتالان سنة 1855 في سياق دراسة الأسطح ذات الانحناء المتوسط الصفري. وله خصائص هندسية مختلفة، منها احتواؤه على منحنى دوري خاص ووجود عائلة من القطوع المكافئة ضمن بنيته.
أما سطح كاتالان المسطر موضوع هذه المقالة فهو تصنيف هندسي للأسطح المسطرة ذات المستوى الدليلي، وقد ظهر في عمل كاتالان سنة 1843. ولذلك فهما مفهومان مختلفان رغم اشتراكهما في اسم كاتالان.
التاريخ
يرتبط مفهوم سطح كاتالان مباشرة بأعمال أوجين شارل كاتالان في دراسة الأسطح المسطرة. ففي سنة 1843 نشر مذكرته Mémoire sur les surfaces gauches à plan directeur، التي عالج فيها الأسطح المسطرة ذات المستوى الدليلي.
كما تناول كاتالان لاحقا مسائل تتعلق بالأسطح الدنيا. وفي سنة 1842 كان قد نشر دراسة مستقلة عن الأسطح المسطرة ذات المساحة الدنيا، وهي الدراسة التي ترتبط بالنتيجة الكلاسيكية التي تجعل الهليكويد السطح المسطر الأدنى غير المستوي. ولا ينبغي الخلط بين هذه النتيجة وبين تعريف سطح كاتالان نفسه.
