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lemiscate sferica

la curva che ha la forma del numero 8 (lemiscate) viene generato su una superficie sferica K da un punto H appartenente alla base di un cono circolare mentre questo ruota intorno all'asse verticale della sfera. ovvero presi due punti P ed H appartenenti alla base di un cono circolare che ha come vertice il centro O della sfera ed ha come base una circonferenza massima della stessa sfera. nelle condizioni in cui tali punti P e H devono durante tale la detta rotazione rispettare le seguenti posizioni,
-  il punto P non deve cambiare rispetto a gli altri punti della circonferenza.
invece il punto P deve appartenere sempre alla circonferenza e alla superficie sferica. il risultato di tale movimento e rispettando le dette condizioni vediamo che P descrive una circonferenza massima appartenente ad un piano ortogonale all'asse di rotazione, mentre H descrive una curva composta da due rami. e ad ogni girdo completo vanno coincidersi i punti P ed H nel punto d'intresezione di tali rami

ovvero preso un cono retto circolare che come vertice coincidente con  il centro O di una sfera K e ha come base una circonferenza massima di K. ruotando il cono intorno ad un asse della sfera che non sia coincidente con lo stesso asse del cono,vediamo che ciascun punto H appartenente alla base del cono descrive sulla sfera una curva con due rami

Archivio- Varianti di una Cicloide

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Varianti di una Cicloide

la curva propriamente detta cicloide è quella descritta da un punto di una circonferenza (ruotante), mentre questa ultima ruota, senza strisciare, intorno al asse passante per suo stesso centro, lungo una retta. (fig.1)

fig. 1

- La prima  variante consiste nel sostituire la direttrice rettilinea (rotaia), nel caso della cicloide classica, con una direttrice circolare. vedi fig. 2

fig. 2

in questi due casi sopracitati (fig.1, fig.2) la figura ruotante (generatrici) e quella che fa da rotaia (direttrice) sono complanari.

seconda variante (crtoide)

(fig.3), utilizzare due circonferenze, tangenti tra loro, ma sghembe, una appartenente ad un piano orizzontale e l'altra ad un piano verticale. 

fig. 3

la circonferenza ruotante effettua tre rotazioni: la prima intorno al suo stesso centro, il secondo intorno all'asse passante per la circonferenza ruotaia ed il terzo intorno ad una retta verticale passante il suo centro.

questo ultimo caso può avere, in parte, come esempio pratico, quello della curva tracciata da un punto posto sulla superficie sferica della luna, mentre questa ultima ruota intorno a se stesso ed intorno alla terra.

salve prof. se hai letto questa fino a questo punto mi piacerebbe sapere la denominazioni delle ultime curve (fig2, fig3).

nel caso della fig.3 mi piacerebbe costruire un modellino per verificare l'esattezza di tale meccanismo, hai qualche idea?.

salam 

Hasan

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Veniamo alle tue curve.
 Osservo innanzi tutto che il termine rotaia non esiste in italiano, potresti dire rotaia (come nelle ferrovie) ma sarebbe più esatto direttrice.
 Spero che non te ne abbia a male, ma se vuoi essere ascoltato, anche la proprietà di linguaggio alla sua importanza, almeno quando si parla di
 scienza.
 La curva della figura 2 assomiglia molto alla cardiode (caso particolare della lumaca di Pascal), ma, per dire che lo è,
 bisognerebbe studiarne l'equazione, vedi:
http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml

 La curva di fig. 3, invece, è sghemba e appartiene ad una sfera, inoltre sembra avere come prima proiezione una cardiode.
E sia detto tutto ciò con il beneficio del dubbio, perché anche qui bisognerebbe studiare l'equazione.
 Mi sento solo di dire con sicurezza che appartiene ad una sfera. Il punto di regresso (laddove la curva tocca terra, per
 intenderci) dovrebbe essere una cuspide, però, come nella cicloide generata da un cerchio tangente alla direttrice (a questo proposito, potresti studiare le
 altre curve simili, ma generate da cerchi esterni o secanti la direttrice).
 Direi che si tratta di una epicicloide sferica, trattata da Loria a pag. 65 e seguenti del volume secondo del suo Curve sghembe speciali, che puoi trovare nella Biblioteca Guido Castelnuovo, a Matematica.
Oppure, al mio ritorno, faremo le famose fotocopie, anche quelle 'arretrate'.
 Per riconoscerla, basta sostituire al cono di cui parla Loria un cilindro,
 come caso particolare. A me pare che sarebbe molto interessante cercare il modo di generare queste curve come intersezione di superfici.
Per alcune di esse (come la finestra di Viviani) ciò è possibile. Sarebbe un modo, diciamo così, più descrittivo e anche un modo per rendere queste curve maneggevoli e realizzabili come forme architettoniche.
Se tu riuscissi in questo intento, riprendendo le curve 'storiche', molte e bellissime ma mai viste in architettura perché difficili da controllare, potresti ricavarne una pubblicazione di grande interesse.

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salve prof.

per produrre la superficie delimitata dalla curva in fig. 3, si considera la generatrici di un cono, che per vertice il centro della sfera e come base la stessa circonferenza generatrici (rotante) citata in precedenza. il risultato è interessante.

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la lezione di mercoledi 22/10/03

data creazione 14-10-2006

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salve prof.

per capire la genesi della superficie delimitata dalla curva (epicicloide sferica) fig. 3, si considera la generatrici (g)di un cono (fig. 5) , che ha per vertice il centro della sfera (C) e per direttrice una sezione della stessa sfera.
La rotazione del cono, sia, intorno al suo asse, sia intorno alla asse della sfera, che in questo caso  è quello parallelo alla direttrice dello stesso cono, permette di costruire  la superficie in questione che ha come generatrice la retta g. e come bordo la curva  sghemba (epicicloide sferica) tracciata dal punto P sulla superficie sferica.

che ne pensi prof. mi sembra una superficie con un andamento interessante?. di qual tipo di superficie si tratta?, è rigata?

fig. 4

fig. 4

fig. 5

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data creazione 14-10-2006

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