نظرية ديزارغ
تنص نظرية ديزارغ على أنه إذا كان مثلثان في منظور بالنسبة لنقطة، فإنهما يكونان في منظور أيضًا بالنسبة لخط مستقيم.
بشكل مكافئ، إذا كان مثلثان في منظور بالنسبة لنقطة، وإذا تقاطعت أجزاء الأضلاع المتناظرة، فإن نقاط التقاطع الثلاث تكون متوازية. وهذا هو مبدأ العلاقة التقابلية في الهندسة الوصفية: الخطوط المتقابلة تتقاطع على خط واحد (يسمى "محور التقابل" أو "محور التناظر"). والنقاط المتقابلة تتسامت مع نقطة واحدة (تسمى "مركز التقابل" أو "مركز التناظر").[3]
العكس من نظرية ديزارغ صحيح أيضًا: إذا كان مثلثان في منظور بالنسبة لخط مستقيم، وإذا كانت كل زوج من الرؤوس المتناظرة متصلة بخطوط تتقاطع، فإن المثلثين يكونان في منظور بالنسبة لنقطة تقاطع الخطوط الثلاثة.
نتذكر أن مثلثين يكونان في منظور بالنسبة لنقطة إذا كانت الخطوط التي تربط النقاط متقاطعة.
ويقال أيضًا أن مثلثين في منظور بالنسبة لخط مستقيم إذا كانت الأزواج المتكونة من الخطوط المتناظرة تتقاطع في نقاط متوازية.
أعاد هيلبرت النظر في نظرية ديزارغ في نهاية القرن التاسع عشر في كتاب "أسس الهندسة" (Grundlagen der Geometrie)، حيث صاغ عالم الرياضيات الألماني بعض الاعتبارات المستمدة من هذه النظرية. فقد اقترح نظامًا مختلفًا من البديهيات، والذي يولد نوعًا من الهندسة لا تنطبق فيه نظرية ديزارغ.
في عام 1902، استأنف مولتون الموضوع الذي تناوله هيلبرت، مقترحًا مثالًا لهندسة غير ديزارغية أبسط بكثير، والذي سيتم تضمينه في الإصدارات اللاحقة من نص "أسس الهندسة". لهذا الغرض، نشر مولتون في عام 1902 مقالًا في مجلة "معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية".
أخيرًا، يمكن تقديم تفسير مختلف للمشكلة التي تمثلها نظرية ديزارغ من خلال تقديم النهج الذي قدمه إميل أرتين في كتابه "الجبر الهندسي".
البرهان
[عدل]البرهان الأكثر شيوعًا لهذه النظرية يتم في ثلاثة أبعاد. هذا ممكن لأن الهندسة الإسقاطية تعمل بنفس الطريقة في هذه الحالة. بالنظر إلى المثلثين المعنيين، كل منهما ينتمي إلى مستوى.
لنسمي r الخط الذي نحصل عليه بتقاطع المستويين. الآن، لننظر إلى H، K،S، نقاط التقاطع بين رأسين في منظور بالنسبة للنقطة P، النقطة التي يكون المثلثان الأصليان في منظور بالنسبة لها. يجب أن تنتمي H، K و S جميعها إلى الخط r لأنها جميعًا تنتمي إلى مستوى المثلث الأول ومستوى المثلث الثاني، وبالتالي تقع في تقاطعهما.
مقالات خارجية ذات صلة
- نظرية ديزارغ، في بلانيت ماث (PlanetMath).
- نظرية ديزارغ، على موسوعة بريتانيكا (Encyclopædia Britannica, Inc.).
- إريك دبليو. فايسشتاين، نظرية ديزارغ، على ماث وورلد (MathWorld, Wolfram Research).
- نظرية ديزارغ، على موسوعة الرياضيات (Encyclopaedia of Mathematics, Springer والجمعية الرياضية الأوروبية).
مراجع
[عدل]- ^ "معلومات عن مبرهنة ديزارغ على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-03-18.
- ^ "معلومات عن مبرهنة ديزارغ على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2016-07-22.
- ^ Geometria descrittiva. Hasan ISAWI
L'esempio di sezionare una piramide triangolare con un piano, è una delle dimostrazioni comuni del Teorema di Desargues nello spazio tridimensionale.
Ecco come funziona la dimostrazione:
La Piramide e il Centro di Proiezione: Immagina una piramide con vertice P (che sarà il nostro "centro di proiezione" o la "punto di prospettiva"). La base di questa piramide è un triangolo ABC.
Il Primo Triangolo: Il triangolo di base ABC sarà il nostro primo triangolo nel piano.
Il Secondo Triangolo (Proiezione): Ora, sezioniamo la piramide con un piano pi' che non contiene il vertice P e non è parallelo al piano della base ABC. Il piano pi' intersecherà i tre spigoli della piramide PA, PB, PC in tre punti A', B', C'. Questi tre punti formeranno un nuovo triangolo A'B'C'.
I Due Triangoli in Prospettiva rispetto a un Punto: I triangoli ABC e A'B'C' sono in prospettiva rispetto al punto P. Questo significa che le rette che congiungono i vertici corrispondenti (AA', BB', CC') si incontrano tutte in P.
I Lati Corrispondenti si Intersecano su un Piano: Ora consideriamo i lati corrispondenti dei due triangoli:
La retta AB e la retta A'B' giacciono entrambe sul piano definito da P, A, B. Poiché giacciono nello stesso piano e non sono parallele (a meno di casi degeneri), si intersecheranno in un punto, chiamiamolo X.
Analogamente, la retta BC e la retta B'C' si intersecheranno in un punto Y.
La retta CA e la retta C'A' si intersecheranno in un punto Z.
Punti di Intersezione sul Piano Comune: I punti X, Y, Z (le intersezioni dei lati corrispondenti) devono giacere sia sul piano del triangolo ABC che sul piano del triangolo A'B'C'. Poiché giacciono su entrambi i piani, devono necessariamente trovarsi sulla retta di intersezione di questi due piani.
La Retta di Desargues: Questa retta di intersezione è la "retta di Desargues".
Questo esempio dimostra visivamente e logicamente come la condizione di essere "in prospettiva rispetto a un punto" (i triangoli ABC e A'B'C' attraverso P) implichi la condizione di essere "in prospettiva rispetto a una retta" (la retta XYZ). È una dimostrazione elegante perché sfrutta il passaggio dalla geometria 3D alla 2D per rendere la relazione evidente.
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق