المقطع الدائري للسطح التربيعي

Hasan Isawi- الدكتور حسن العيسوي
Revealing forms beyond metrics, where geometric inevitability reunites intuition with rigor through synthetic geometry.

في الهندسة الوصفية، يُقصد بـ المقطع الدائري (Circular section) لأي سطح تربيعي، المقطع الناتج عن تقاطع السطح مع مستوى بحيث تكون المنحنى الناتج دائرة .

وبما أن السطوح التربيعية العامة (كالناقصي ، والزائدي، والمكافئ) لا تتمتع عادةً بتماثل دوراني كامل، فإن معظم المقاطع المستوية لها تكون قطوع ناقصة أو زائدة أو مكافئة. غير أنّه توجد مستويات خاصة، تُسمّى المستويات الدائرية (Cyclic planes)، تقطع هذه السطوح وفق دوائر.

الخصائص العامة للمقاطع الدائرية

• لا توجد المقاطع الدائرية إلا في أوضاع هندسية خاصة للمستوى القاطع.
• في السطوح التربيعية غير الدورانية، تكون هذه المستويات مائلة وليست موازية للمستويات الإحداثية.
• ترتبط هذه المستويات ارتباطًا وثيقًا بـ البنية المترية للسطح وتوازن انحناءاته الرئيسية.
• كل سطح تربيعي دوراني (كالإهليلج الدوراني أو القطع الزائد الدوراني) يحتوي على دوائر بوصفها مقاطع ناتجة عن مستويات متعامدة مع محوره، ولا يحتوي على أي دوائر أخرى إذا لم يكن كرة.
• وتوجد دوائر أقل ظهورًا على سطوح تربيعية أخرى غير دورانية، مثل: السطح الناقصي وغيرها من السطوح التربيعية غير المتماثلة دورانيًا.

ومع ذلك، تصح القاعدة العامة التالية:

• كل سطح تربيعي يحتوي على قطوع ناقصة يحتوي أيضًا على دوائر.
• وبصيغة مكافئة: جميع السطوح التربيعية تحتوي على دوائر، باستثناء الأسطوانات المكافئة، والأسطوانات الزائدية، والقطع المكافئ الزائدي.

توزّع المقاطع الدائرية

إذا احتوى سطح تربيعي على دائرة، فإن: كل تقاطع لهذا السطح مع أي مستوى موازٍ لمستوى هذه الدائرة يكون بدوره دائرة، بشرط أن يحتوي التقاطع على نقطتين على الأقل.

وباستثناء حالة الكرة، فإن: الدوائر الموجودة على أي سطح تربيعي — إن وُجدت — تكون جميعها موازية لأحد مستويين ثابتين

(ويتطابق هذان المستويان في حالة السطوح الدورانية).

مثال تطبيقي: المقاطع الدائرية لسطح ناقصي مختلف المحاور

فيما يلي طريقة هندسية إنشائية مباشرة لتحديد ميلان حزمتين من المستويات المتوازية التي تقطع سطح ناقصي مختلف المحاور وفق دوائر، اعتمادًا على كرة مساعدة متمركزة.

سطح ناقصي مختلف المحاور يتقاطع مع كرة مساعدة

نفرض أن:

• مركز السطح الناقصي k يقع في أصل الإحداثيات
• المحور z هو المحور الأكبر.
• المحور x هو المحور المتوسط.
• المحور y هو المحور الأصغر.
• ننشئ كرة مساعدة s بحيث يكون مركزها مطابقًا لمركز السطح الناقصي k؛ يكون قطرها مساويًا لطول المحور المتوسط x.

وتُعد هذه الكرة أداة هندسية فعالة لتحويل المسألة إلى إنشاء مباشر دون حساب تحليلي.

• نقطع كلًّا من k والكرة s بالمستوى zy: يعطي تقاطع الكرة دائرة؛ ويعطي تقاطع k قطعًا ناقصًا
• يتقاطع الإهليلج والدائرة الناتجان في أربع نقاط مشتركة، تُحدِّد زوجين من الأقطار التي تمثل أقطار المقاطع الدائرية للإهليلج.
• المستويات التي تمر بمحور y، وبهذه الأقطار، تقطع k وفق دوائر، وهي ما يُعرف بـ المستويات الدائرية للإهليلج.

المراجع

1.  Salmon, George. A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions. Longmans, Green, and Co., London, 1912.
2.  Coolidge, Julian Lowell. A Treatise on the Circle and the Sphere. Oxford University Press, 1916.
3.  Salmon, George. A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions. Longmans, Green, and Co., London, 1912.
4.  Strubecker, Karl. Differentialgeometrie I–III. Walter de Gruyter, Berlin, 1958.
5.  Coolidge, Julian Lowell. A Treatise on the Circle and the Sphere. Oxford University Press, 1916.
6.  Weisstein, Eric W. "Circular Section." MathWorld – Wolfram Research.
7.  Salmon, George. A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions. Longmans, Green, and Co., London, 1912.
8.  Coolidge, Julian Lowell. A Treatise on the Circle and the Sphere. Oxford University Press, 1916