---------
 |
الدوائر غير المتراكزة على المستوى الرأسي تُلقي ظلا على شكل دائرتين متحدتي المركز.
The decentered circles on the vertical plane cast shadows as two concentric circles.
le circonferenze decentrate sul piano verticale hanno come ombra due circonferenze concentriche |
 |
سلسلة شتاينر ليست سوى حالة خاصة ضمن فضاء أوسع من التكوينات الممكنة.
فكما أن الهندسة الإقليدية حالة خاصة من الهندسة الإسقاطية، والتحويلات الخطية حالة خاصة من التحويلات الإسقاطية، كذلك سلسلة شتاينر هي الحالة الخاصة من السلسلة العامة للقطوع المخروطية غير المتشابهة.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Steiner’s chain is only one point within a much broader space of possible configurations.
Just as Euclidean geometry is a special case of projective geometry, and affine transformations are a special case of projective transformations, Steiner’s chain is the particular case of the general chain of tangent conics .
La catena di Steiner è solo un punto in uno spazio molto più ampio di configurazioni possibili.
Così come la geometria euclidea è un caso particolare della geometria proiettiva e le trasformazioni affini sono un caso particolare delle trasformazioni proiettive, allo stesso modo la catena di Steiner è un caso speciale della catena generale di coniche tangenti, See less |
 |
يمكن لقطعين مخروطيين أن يكونا متقابلين قطبيًا دون أن تربط بينهما علاقة هومولوجية. التبادل القطبي هو علاقة بين نقطة وخط بالنسبة لقطع معين، بينما الهومولوجيا هي إسقاط له مركز ومحور ثابتان، وهما مفهومان مختلفان ومستقلان.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Two conics can be mutually polar without being in a homological correspondence. Polarity is a point–line correlation with respect to a reference conic, while homology is a central collineation defined by a fixed center and axis; they are distinct and independent concepts.
due coniche possono essere reciprocamente polari senza essere in corrispondenza omologica. La polarità è una relazione di tipo punto–retta rispetto a una conica di riferimento, mentre l’omologia è una proiezione centrale con un centro e un asse fissi; sono concetti distinti e indipendenti. |
 |
| الحالات المختلفة تعود دائما إلى المركزية المشتركة |
 |
المضلع المفتوح لبونسليه بين قطعين مخروطيين متقابلين وغير متشابهين هندسيًا.
عندما يكون لدينا قطوع مخروطية متقابلة وغير متشابهة هندسيًا، يمكن أن تكون متبادلة القطبية بالنسبة إلى قطع ثالث يُسمّى القطع الجسري.
وبما أنّ القطعين ليسا متشابهين هندسيًا، فإنّ المضلع الذي رؤوسه على القطع الأول وأضلاعه مماسة للقطع الجسري يكون مفتوحًا.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Open Poncelet locus between two corresponding, non-homothetic conics.
Given two corresponding and non-homothetic conics, they can be mutually polar with respect to a third conic, called the bridge conic.
Since the two conics are not homothetic, the polygon with vertices on the first conic and sides tangent to the bridge conic is open.
The polars of the vertices with respect to the bridge conic are tangent to the second conic, thus defining an open projective correspondence.
Luogo di Poncelet aperto tra due coniche corrispondenti e non omotetiche.
Date due coniche corrispondenti e non omotetiche, esse possono essere reciprocamente polari rispetto a una terza conica, detta conica ponte.
Poiché le due coniche non sono omotetiche, il poligono con vertici sulla prima e lati tangenti alla conica ponte risulta aperto.
Le polari dei vertici rispetto alla conica ponte sono tangenti alla seconda conica, stabilendo così una corrispondenza proiettiva di tipo aperto. See less |
 |
سلسلة من القطوع المخروطية المتشابهة هندسيًا ناتجة عن الانعكاس الإهليلجي.
كل قطع في السلسلة يمسّ الدالتين. يحافظ هذا النظام على خاصية التماس وينتج تسلسلاً متناغمًا من القطوع ضمن فضاء إسقاطي إهليلجي.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
---
Chain of homothetic conics generated by elliptic inversion.
Each conic in the chain is tangent to its two adjacent conics and to the directrices, and is obtained through a homothetic transformation with respect to the generating ellipse of the inversion.
The system preserves the properties of tangency and produces a harmonic sequence of conics inscribed within an elliptic projective field.
Catena di coniche omotetiche mediante inversione ellittica.
Ogni conica della catena è tangente alle due contigue e alle direttrici, e si ottiene per trasformazione omotetica rispetto all’ellisse generatrice dell’inversione.
Il sistema conserva le proprietà di tangenza e genera una sequenza armonica di coniche inscritte in un campo proiettivo ellittico. |
سلسلة من القطوع المخروطية العامة بدالتين إهليلجيتين خارجيتين. كل قطع في السلسلة يمسّ الإهليلجين الخارجيين معًا. يمثّل هذا البناء تعميمًا لسلسلة شتاينر من الدوائر إلى القطوع، مع الحفاظ على خصائص التماس والتبادلية داخل النظام الإسقاطي.
Chain of generic conics with external elliptic directrices. Each conic in the chain is tangent to both directrices, which are two external ellipses. This construction generalizes the Steiner chain from circles to conics, preserving tangency and reciprocity properties within the projective system.
Catena di coniche generiche con direttrici ellittiche esterne. Ogni conica della catena è tangente a entrambe le direttrici, che in questo caso sono due ellissi esterne tra loro. La costruzione rappresenta una generalizzazione della catena di Steiner, estesa dalle circonferenze alle coniche, dove le proprietà di tangenza e reciprocità rimangono invarianti nel sistema proiettivo.
7 October |
 |
سلسلتان متداخلتان من دوائر شتاينر تمسان دائرتين لا مركزيتين.
كل سلسلة تتكوّن من دوائر تمسّ بعضها البعض وتمسّ الدائرتين المعطيتين.
تُنشأ هذه البنية من خلال الانعكاس الدائري الذي يحافظ على التماس بين الدوائر ويحوّل سلسلة إلى أخرى، مما ينتج تركيبًا مزدوجًا متناغمًا تمامًا.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Two overlapping Steiner chains tangent to two eccentric circles.
Each chain consists of circles mutually tangent to one another and to the two fixed circles.
The construction is achieved through circular inversion, which preserves tangency and transforms one chain into another, producing a perfectly harmonic double structure.
 Italiano
Due catene di Steiner sovrapposte, tangenti a due circonferenze eccentriche.
Ogni catena è composta da circonferenze tutte tangenti tra loro e alle due circonferenze date.
La costruzione si ottiene per inversione circolare, che conserva le tangenti e trasforma una catena in un’altra, generando così una struttura doppia perfettamente armonica. See less |
 |
| تُظهر الصورة سلسلة شتاينر المُعمَّمة، وهي إنشاء هندسي حيث تكون حلقة مُغلقة من القطوع المولِّدة (Generating Conics) مُماسَّة لقطعين مُحدّدين وثابتين هما القطعان المُوجِّهة (Director Conics)، وهما القطع الناقص الخارجي والداخلي الأرجوانيين. The Generalized Steiner Chain, a geometric construction where a closed ring of Generating Conics is tangent to two fixed Director Conics (the outer and inner magenta ellipses). https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html 4 October 2025 |
 |
إنشاء قطع مخروطي من خمس مماسات باستخدام مبرهنة بريانشون- معلوم خماسي أضلاع محيط بمخروطية مجهولة، أي خمس مماسات معطاة.
- اختيار نقطة اعتباطية P على أحد أضلاع الخماسي.
- صِل P مع الرأس المقابل: وهذا الخط يمثل القطر الرئيسي الأول للسداسي.
- ارسم القطرين الرئيسيين الآخرين باستخدام الرؤوس المقابلة للخماسي بما في ذلك النقطة P .
- يجب أن تتلاقى هذه الأقطار في نقطة O (حسب مبرهنة بريانشون).
- من النقطة O، صِل الرأس الثالث المتبقي من الخماسي حتى يلتقي مع أحد أضلاع الخماسي عند النقطة R.
- المستقيم PR يمثل المماس السادس للقطع المخروطي.
- بتكرار العملية مع اختيارات مختلفة للنقطة P على اضلاع الخماسي، يتم الحصول على مماسات أخرى، ويكون الغلاف لجميع هذه الخطوط هو القطع المخروطي المطلوب
Construction of a conic from five tangents using Brianchon’s theorem
Start with a pentagon circumscribed to the unknown conic, i.e., with five given tangents. Choose an arbitrary point P on one side of the pentagon. Connect P with the opposite vertex: this gives the first main diagonal of the hexagon. Draw the other two possible diagonals using the opposite vertices of the pentagon and the point P. These diagonals must concur at a point O (by Brianchon’s theorem). From O, connect the third remaining vertex of the pentagon: the line meets a side of the pentagon at point R. The line PR represents the sixth tangent to the conic. By repeating the procedure with different choices of P, one obtains other tangents; the envelope of all these lines is the conic sought. |
 |
| partendo da due coniche intersecanti (con linee spesse) |
 |
سلسلة من القطوع المخروطية المتراكزة والمتبادلة القطبية فيما بينها
عند إعطاء قطعين مخروطيين Δ و Δ' (باللون السماوي) بنقطتان مشتركتان، مطلوب تحديد القطع المخروطي Δ_L (باللون الأبيض) الذي يعمل كجسر للتحقق من القطبية المتبادلة بين Δ و Δ'. يوجد بين Δ و Δ' علاقة تقابلية (هُمولوجيا) بمحور d الذي يصل بين النقطتين المشتركتين، ومركزه هو القطب لذلك المستقيم. في هذا التكوين، تكون Δ و Δ' متقابلتين، ويُحدد القطع المخروطي Δ_L الجسر بينهما بشكل وحيد.
بعد تحديد Δ_L، يمكن استخدامه كمرجع لبناء قطوع مخروطية قطبية جديدة. مثلا، باعتبار Δ كجسر، نحصل على القطع Δ₂ الذي هو القطبي لـ Δ_L؛ وبإعادة نفس الإجراء بشكل متتابع، يتولد تسلسل من القطوع المخروطية المرتبة على جانبي Δ_L. وباعتماد Δ_L كقطع مخروطي تماثلي، يكون لكل قطع Δ₂ قطع “مقابل” على الجانب الآخر، ويكون الاثنان متبادلين القطبية بالنسبة إلى Δ_L. وبهذا نحصل على سلسلة من القطوع المخروطية المتراكزة المتبادلة القطبية فيما بينها، منظَّمة حول القطع المخروطي الجسر الذي يعمل كعنصر مولّد وموازن للبناء.
Serie di coniche concentriche reciprocamente polari tra loro
Date due coniche Δ e Δ' (in colore celeste) con due punti in comune, si vuole determinare la conica Δ_L (colore bianco) che funge da ponte per verificare la polarità reciproca tra le coniche date. Tra Δ e Δ' esiste un’omologia avente come asse la retta d, che congiunge i due punti comuni, e come centro il polo di tale retta. In questa configurazione le due coniche risultano corrispondenti e la conica ponte Δ_L risulta determinata in modo univoco.
Series of concentric conics reciprocally polar to each other
Given two conics Δ and Δ' (in light blue) with two points in common, we want to determine the conic Δ_L (in white) that acts as a bridge to verify the reciprocal polarity between the given conics. Between Δ and Δ' there exists a homology whose axis is the line d, joining the two common points, and whose center is the pole of that line. In this configuration, the two conics are corresponding, and the bridge conic Δ_L is uniquely determined.
Once Δ_L is determined, it can be used as a reference to construct new polar conics. In fact, by considering Δ as a bridge conic, one obtains the conic Δ₂ polar to Δ_L; repeating the same procedure iteratively generates a sequence of conics arranged on both sides with respect to Δ_L. By establishing Δ_L as the conic of symmetry, each conic Δ₂ has a corresponding “symmetric” one on the opposite side, and the two are reciprocally polar with respect to Δ_L. In this way, a series of concentric conics reciprocally polar to each other is obtained, organized around the bridge conic that serves as the generative and balancing element of the construction.
Determinata Δ_L, è possibile utilizzarla come riferimento per costruire nuove coniche polari. Infatti, considerando Δ come conica ponte, si ottiene la conica Δ₂ polare di Δ_L; ripetendo lo stesso procedimento in modo iterativo si genera una successione di coniche disposte da un lato e dall’altro rispetto a Δ_L. Stabilendo Δ_L come conica di simmetria, ciascuna conica Δ₂ risulta avere una corrispondente “simmetrica” dalla parte opposta, e le due sono reciprocamente polari rispetto a Δ_L. Si ottiene così una serie di coniche concentriche reciprocamente polari tra loro, organizzate attorno alla conica ponte che funge da elemento generatore e di equilibrio della costruzione. See less See less |
 |
Questa immagine e' costruita durante l'elaborazione del concetto di quadriche reciprocamente polari
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
في الهندسة الإسقاطية، تُسمى السطوح الرباعية المتقابلة " عندما يتطابق المستوى القطبي لكل نقطة من أحدى السطحين مع المستوى المماسي للسطح الآخر . هذا المفهوم هو تعبير عن "الازدواجية الإسقاطية" ، وهو مبدأ أساسي بتبادل أدوار النقاط والمستويات.
In projective geometry, two quadrics are called reciprocally polar (or dual) when the polar plane of every point on one quadric corrisponde with the tangent plane to the other quadric. This concept is an expression of projective duality, a fundamental principle that exchanges the roles of points and planes.
In geometria proiettiva, due quadriche sono dette reciprocamente polari (o duali) quando il piano polare di ogni punto di una quadrica coincide con il piano tangente all'altra quadrica in un punto corrispondente. Questo concetto è un'espressione della dualità proiettiva, un principio fondamentale che scambia i ruoli di punti e piani. |
 |
ربط سلاسل من القطوع المخروطية على سطح رباعي غير مسطر التحدي الرئيسي في ربط سلاسل متعددة من القطوع المخروطية على سطح رباعي غير مسطر ذو شقين: أولا، الحفاظ على التماس بين القطوع المخروطية داخل كل سلسلة؛ وثانياً، ضمان استمرارية السلاسل عند نقطة التقاءها . Connecting Chains of Conics on Non-Ruled Quadrics he main challenge in joining multiple chains of conics on a non-ruled quadric is twofold: first, maintaining tangency between the conics within each chain; second, ensuring the continuity of the chains at their meeting point. Raccordare Catene di Coniche su Quadriche Non Rigate La sfida principale nel raccordare più catene di coniche su una quadrica non rigata è duplice: in primo luogo, mantenere la tangenza tra le coniche all'interno di ciascuna catena; in secondo luogo, garantire la continuità delle catene nel loro puntه di incontro. |
 |
| المخروطية القطبية لمخروطية أخرى بالنسبة لمخروط ثالثة هي مفهوم أساسي في الهندسة الإسقاطية. بالنظر إلى مخروطيتين ثابتتين ΔV و ΔV′، فإن المخروطية القطبية ΔL لـ ΔV′ بالنسبة لـ ΔV تعرف كمحل هندسي لأقطاب الخطوط المماسة لـ ΔV′ بالنسبة لـ ΔV. وبعبارة أخرى، لكل نقطة P تنتمي لـ ΔL، فإن الخط القطبي لـ P بالنسبة لـ ΔV يكون مماسًا لـ ΔV′. في الحالة الخاصة حيث يكون ΔV و ΔV′ مخروطيتين خارجييتين (أي لا يتقاطعان وليس أحدهما داخل الآخرى)، فإن المخروطية القطبية ΔL تكون قطعا زائدا. هذا القطع الزائد يتقاطع مع ΔV. https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html The polar conic of one conic with respect to another is a fundamental concept in projective geometry. Given two fixed conics ΔV and ΔV′, the polar conic ΔL of ΔV′ with respect to ΔV is defined as the locus of the poles of the tangent lines to ΔV′ with respect to ΔV. In other words, for every point P belonging to ΔL, the polar line of P with respect to ΔV is tangent to ΔV′. In the specific case where ΔV and ΔV′ are external conics (i.e., they do not intersect and neither is inside the other),
the polar conic ΔL is a hyperbola. This hyperbola intersects ΔV
|
قطوع مخروطية متبادلة القطبيةالقطوع المخروطية متبادلة القطبية (Reciprocal polar conics) هي قطوع مخروطية يُقال إنها ثنائية القطبية إذا كان أحدها هو التحويل القطبي للآخر، بالنسبة لقطع مخروطي ثالث يعمل كـ "جسر" بينهما. هذا يعني أن نقاط أحدهما تتوافق مع مماسّات الآخر.
 |
Two conics are called polar reciprocal (or dual) if, with respect to a third conic that acts as a "bridge," one is the polar transform of the other. This means the points of one correspond to the tangents of the other. القطوع المخروطية متبادلة القطبية (أو الثنائية) هي قطوع مخروطية يُقال إنها ثنائية القطبية إذا كان أحدها هو التحويل القطبي للآخر، بالنسبة لقطع مخروطي ثالث يعمل كـ "جسر" بينهما. هذا يعني أن نقاط أحدهما تتوافق مع مماسّات الآخر. Vagando nella dualità tra coniche, passando per le coniche polari. Nella geometria proiettiva, due coniche sono definite polari reciproche (o duali) se l'una è la trasformata polare dell'altra. Questa relazione si stabilisce rispetto a una terza conica, chiamata conica di polarità o conica di reciprocità, che agisce da "ponte" per la trasformazione. La relazione fondamentale La relazione è una corrispondenza biunivoca basata sulla polarità e sul principio di dualità, che scambia i ruoli di punti e rette. Da punto a retta: Se si prende un punto qualsiasi su una delle coniche, la sua retta polare, calcolata rispetto alla conica di polarità, sarà una retta tangente all'altra conica. Da retta a punto: Viceversa, il polo di una retta tangente a una delle coniche, calcolato rispetto alla conica di polarità, sarà un punto giacente sull'altra conica. Questo significa che l'insieme dei punti su una conica corrisponde all'insieme delle rette tangenti dell'altra. |
----
===
يُجسّد النظام القطبي الكامل بالنسبة لقطع مخروطي، جوهر الهندسة الإسقاطية: إذ يُظهر كيف ان وراء التنوع الظاهري للتكوينات الهندسية المختلفة تكمن وحدةٌ مفاهيمية متناغمة، حيث يجد كل عنصر مكانه في كلٍّ عضويٍّ متماسك. تُمثّل هذه الرؤية المُوحّدة أحد أسمى إنجازات الفكر الهندسي الكلاسيكي.
ثنوي (Dual) المكعب هو ثماني الوجوه، حيث تمثل رؤوس الثماني اقطاب وجوه المكعب. يُعتبر الثماني السطوح هو الثنوي للمكعب. تتحقق هذه الثنوية (duality) عبر القطبية بالنسبة لسطح كروي محيط بالمكعب. كل وجه من أوجه المكعب يقابله رأس من الثماني السطوح، وكل رأس من المكعب يقابله وجه من الثماني السطوح. وتُمثِّل رؤوس الثماني السطوح أقطاب المستويات التي تحتوي على الأوجه المقابلة للمكعب. تمثل هذه العلاقة القطبية المبدأ الأساسي للثنوية في الهندسة الإسقاطية، مما يبرز التناغم البنيوي بين متعددات السطوح الأفلاطونية.
il sistema polare completo rispetto a una conica incarna l'essenza della geometria proiettiva: mostrare come dietro l'apparente diversità delle configurazioni geometriche esista un'armoniosa unità concettuale, dove ogni elemento trova il suo posto in un tutto organico e coerente. Questa visione unificata rappresenta uno dei più alti raggiungimenti del pensiero geometrico classico.
In projective geometry, the octahedron is the dual polyhedron of the cube. This duality is realized through polarity with respect to a conic surface, typically a sphere circumscribed around the cube. Each face of the cube corresponds to a vertex of the octahedron, and each vertex of the cube corresponds to a face of the octahedron. The vertices of the octahedron are precisely the poles of the planes containing the corresponding faces of the cube. This transformation preserves the combinatorial symmetry and projective properties of the polyhedra. Whereas the cube possesses six square faces and eight vertices, its dual, the octahedron, exhibits eight triangular faces and six vertices. This reciprocal relationship exemplifies the fundamental principle of duality in projective geometry, underscoring the structural harmony between these Platonic solids.
--
 |
| impacchettamento a righe e colonne |
إن مفاهيم التعامد والتوازي والتماثل ... الخ، المألوفة جدا في إدراكنا اليومي، ليست سوى تجليات لحالات خاصة من افكار أوسع وأكثر شمولية التي تجد موطنها الحقيقي في الهندسة الإسقاطية.
the concepts of orthogonality, parallelism, and symmetry, so familiar in our daily perception and Euclidean geometry, are nothing but particular manifestations of vaster, more universal ideas that find their true home in projective geometry.
https://www.researchgate.net/publication/391571663_Constructive_generalization_of_non-ruled_quadrics_A_descriptive_geometric_approach i concetti di ortogonalità, parallelismo e simmetria, così familiari nella nostra percezione quotidiana e nella geometria euclidea, non sono altro che manifestazioni particolari di idee più vaste e universali che trovano la loro vera dimora nella geometria proiettiva Date
28 July 2025
----
 |
| Direttrice k e k minori |
----
 |
العربية: تُظهر الصورة منظرًا جويًا لمجمع ثقافي. يضم قبة مركزية كروية، محاطة بمجموعة قطبية من قباب إهليلجية أصغر. جميع هذه القباب مبنية بتصميم "تراص" من الدوائر والأشكال الاهليجية.
The image displays an aerial view of a cultural complex. It features a central spherical dome surrounded by a radial array of several smaller, ellipsoidal domes. All these domes are constructed with a "packing" of circles and ellipsoids. Date 13 July 2025 |
-----
 |
| Serie polare di Ciclidi intersecanti lungo i meridiani e tangenti lungo i paralleli di una sfera centrale |
-----
 |
Uno dei sei fasci di coniche tangenti a due coniche intersecanti in quattro punti
أحد الحزم الستة لمخروطيات متماسة لمخروطيتين (اللون الاصفر) متقاطعتين في أربع نقاط
One of the six pencils of conics tangent to two conics intersecting at four points |
----
 |
يُظهر الإسقاط الإكسونومتري من الأعلى تقريب هندسي متعدد الأوجه لقبة كروية. تم الحصول على الاوجه الثلاثية من نقاط تقاطع الدوائر التابعة لسلسلتين متراكبتين، حيث تتكون كل سلسلة من دوائر متقاطعة (غير مرئية في هذه المرحلة). The axonometric projection of a polyhedral approximation of a spherical dome. Its triangular faces were derived from the intersection points of circumferences belonging to two superimposed chains, where each chain is comprised of auxiliary intersecting circumferences (not visible at this stage). L'assonometria ortogonale di un'approssimazione poliedrica di una cupola sferica. Le sue facce triangolari sono state ottenute dai punti d'intersezione di circonferenze appartenenti a due catene sovrapposte, dove ciascuna catena è composta da circonferenze ausiliarie intersecanti tra loro (non visibili in questa fase). |
---
 |
Catena ciclica di coniche intersecanti Per ogni catena chiusa di coniche mutuamente tangenti, intersecanti o distinte, i segmenti sulla conica direttrice devono essere proiettivamente equivalenti. |
----
 |
Tangent Non-Homothetic Ellipsoids and Toric Surfaces, Regulated by a Fundamental Director Sphere: Tangency Along Meridians and Intersection Along Parallels of the Sphere
This complex geometric composition displays a series of intersecting ellipsoids, arranged radially around a central axis. All ellipsoids share a common point located on the rotation axis of the so-called "director sphere," which serves as the fundamental basis for the entire construction.
The superimposed ellipsoids (those in the upper levels) are tangent to each other and are generic relative to one another, meaning they are not homothetic. This implies they are not simply scaled versions of each other but can have different proportions and orientations. It is crucial to note that the ellipsoids are tangent along the meridians of the director sphere and intersecting along its parallels.
The overall arrangement is such that the ellipsoids converge at the center, creating a structure that resembles a "polar series" when viewed from above. The entire configuration is further characterized by the fact that these ellipsoids are conceptually enveloped by toric surfaces that share the same central rotation axis.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Ellissoidi Tangenti Non Omotetiche e Superfici Toriche, Regolate da una Sfera Direttrice Fondamentale: Tangenza lungo i Meridiani e Intersezione lungo i Paralleli della Sfera
Modello AutoCAD dell'applicazione informatizzata della geometria proiettiva
Questa complessa composizione geometrica mostra una serie di ellissoidi intersecanti, disposti radialmente attorno a un asse centrale. Tutti gli ellissoidi condividono un punto comune che si trova sull'asse di rotazione della cosiddetta "sfera direttrice", che funge da base fondamentale per l'intera costruzione.
Le ellissoidi sovrapposte (quelle nei livelli superiori) sono tangenti tra loro e sono generiche tra loro, ovvero non omotetiche, il che significa che non sono semplicemente scalature l'una dell'altra ma possono avere proporzioni e orientamenti diversi. È fondamentale notare che gli ellissoidi sono tangenti lungo i meridiani della sfera direttrice e intersecanti lungo i suoi paralleli.
La disposizione complessiva è tale che gli ellissoidi convergono al centro, creando una struttura che ricorda una "serie polare" quando vista dall'alto. L'intera configurazione è ulteriormente caratterizzata dal fatto che questi ellissoidi sono concettualmente avvolti da superfici toriche che condividono lo stesso asse di rotazione centrale. |
 |
| n geometria proiettiva, l'intuizione non calcola, ma svela la bellezza intrinseca della forma, oltre la meccanica algoritmica |
 |
| quadrica quadro- conclusione |
 |
زوج من القطوع المخروطية المماسة لثلاثة قطوع لسطح رباعي غير مسطر تُظهر الصورة سطحاً رباعياً غير مسطر (في هذه الحالة كرة) . حيث يظهر أحد الأزواج الأربعة من القطوع المخروطية البنفسجية المماسة للمقاطع الثلاثة المعلومة (باللون الاخضر). Pair of conics tangent to three sections of a non-ruled quadric The image shows a non-ruled quadric represented as a sphere with a green triangular mesh. Inside, one of the four pairs of magenta conics tangent to the three established sections Procedimento piu rapido e piu semplice per determinare le 4 coppie di coniche tangenti a tre sezioni di una quadrica (nell'immagine e' visualizzata solo una coppia di colore magenta) |
----
 |
| Torica variabile |
 |
| Fortezza di orgoglio e dignità |
---- |
Given three tangent lines a, b, c, and two points of tangency A and B, determine the inscribed and circumscribed conics of the triangle formed by the tangents a, b, and c.
Considering that five geometric elements (3 tangents + 2 points) satisfy the requirements to define a conic, and according to my projective explanation:
Pascal's line: Justified by the transformation of points at infinity
Brianchon's point: Justified by the projective mapping of the Euclidean center
It is therefore possible, through projective methods, to determine the two required conics:
Inconic (inscribed conic): Uniquely determined given 5 elements (3 tangents + 2 points)
Circumconic: Determined through projective duality
References:
Projective generalization - DOI:10.1177/09560599251334816 |
التفسير الاسقاطي لخط باسكال ونقطة بريانكون
يمكن تفسير الخط الناتج عن تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة لسداسي محاط بمخروطية على انه الصورة الإسقاطية للخط اللانهائي للمستوى. وبالتالي فإن نقاط تقاطع الأضلاع المتقابلة للسداسي تمثل الصور الإسقاطية للنقاط اللانهائية للخطوط المتوازية. أي أن الخطوط المتوازية في الفضاء الإقليدي (التي تلتقي عند اللانهاية) تصبح خطوطًا تلتقي في نقطة نهائية في المستوى الإسقاطي.
وبناء عليه فإن نقطة تقاطع الأقطاب الرئيسية لسداسي محيط بمخروطية على أنها الصورة الإسقاطية لمركز الدائرة في الحالة الإقليدية المثالية.
Constructive generalization of non-ruled quadrics: A descriptive geometric approach
Projective Interpretation of Pascal's Line and Brianchon's Point
The line formed by the intersection of the extensions of opposite sides of a hexagon circumscribed about a conic section can be interpreted as the projective image of the line at infinity in the plane. Consequently, the intersection points of the hexagon's opposite sides represent the projective images of the points at infinity of parallel lines. In other words, parallel lines in Euclidean space (which meet at infinity) become lines intersecting at a finite point in the projective plane.
Similarly, the intersection point of the principal diagonals of a hexagon circumscribed about a conic can be interpreted as the projective image of the circle's center in the ideal Euclidean case.
Dual Relationship:
Pascal’s Line ↔ Projective representation of the line at infinity
Brianchon’s Point ↔ Projective representation of the central symmetry
Reference:
Constructive generalization of non-ruled quadrics: A descriptive geometric approach. https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/09560599251334816
 |
تنص نظرية بريانكون _او بريانشون) على ما يلي: إذا كان مُضلّع سداسي مُحيطًا بقُطع مخروطي (مثل دائرة أو قطع ناقص)، فإن المستقيمات الواصلة بين أزواج الرؤوس المتقابلة (الأقطاب الرئيسية) تتلاقى في نقطة واحدة.
تعتبر نظرية باسكال (الرسمة اليسرى) النظير الازدواجي لنظرية بريانكون (الرسمة اليمنى)، والتي تنص على ما يلي: إذا كان مُضلّع سداسي محاط بمخروطية (مثل دائرة أو قطع ناقص)، فإن نقاط تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة تقع على خط مستقيم واحد (يُسمى 'خط باسكال') |
---
انشاء القطوع المخروطية
الهندسة الإسقاطية تدرس الخصائص الهندسية التي تظل ثابتة بعد التحويلات الإسقاطية. على عكس الهندسة الإقليدية، التي تتعامل مع الابعاد والزوايا والمساحات، تركز الهندسة الإسقاطية على مفاهيم مثل شروط الانتماء (انتماء نقطة الى خط؛ وخط الى مستوى؛ ونقطة الى مستوى والعكس)، والتوازي (كحالة خاصة من التقاطع في اللانهاية)، والقطوع المخروطية. تلعب هذه العناصر الأخيرة، القطوع المخروطية، دورًا محوريًا حيث تمثل أساسيات منحنيات الدرجة الثانية، وخصائصها الإسقاطية غنية وقوية بشكل مدهش.
الموضوع الكلاسيكي في الهندسة الإسقاطية هو تحديد قطع مخروطي بناءً على عدد معين من العناصر (نقاط أو مماسات). نعلم، على سبيل المثال:
- يتم تحديد قطع مخروطي بشكل فريد إذا عُرف خمسة من مماساته، بشرط ألا تكون جميعها متقاطعة في نقطة واحدة. وهذا هو جوهر نظرية بريانشون (Brianchon's Theorem) الشهيرة، وهي ثنائية نظرية باسكال، والتي تنص على أنه إذا كان سداسي الأضلاع محيطًا بقطع مخروطي، فإن أقطاره الرئيسية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة.
- القطع المخروطي الذي يمر بخمس نقاط معطاة (The Conic Through Five Given Points): بشكل ثنائي، يتم تحديد قطع مخروطي بشكل فريد إذا عُرف خمس نقاط منه، بشرط ألا تكون جميعها متراصة على خط واحد. هذا هو جوهر نظرية باسكال (Pascal's Theorem) الشهيرة، التي تنص على أنه إذا كان سداسي الأضلاع محددًا في قطع مخروطي، فإن نقاط تقاطع أضلاعه المتقابلة تقع على خط واحد.
القطوع المخروطية التي تمر بأربع نقاط معطاة (Conics Through Four Given Points): في هذه السيناريوهات، لا يتم تحديد القطع المخروطي بشكل فريد، بل يشكل عائلة (حزمة من القطوع المخروطية) تشترك في قاعدة مشتركة. تُبرز هذه النظريات كيف أن خمسة شروط عامة (خمس نقاط أو خمس مماسات) كافية لتعريف قطع مخروطي. توجد بعد ذلك حالات وسيطة، مثل تعريف قطع مخروطي يمر بأربع نقاط، أو يمس أربعة خطوط.
الإجراء التالي يندرج في هذا السياق، حيث يتعامل مع حالة لا يتم فيها تعريف القطع المخروطي بخمس نقاط أو خمس مماسات، بل بمزيج من ثلاث نقاط ومماسين (انظر الاجراء ادناه).
يكمن جمال الهندسة الإسقاطية في توفير أدوات لحل مشكلات معقدة بطريقة رسومية بحتة، دون استخدام معادلات رياضية.
 |
إنشاء قطع مخروطي Δ باستخدام ثلاث نقاط ومماسين
المعطيات:
النقاط A,B,C∈Δ، المماس a عند النقطة A، والمماس b عند النقطة B.
الإجراء:
حدّد النقطة D=a∩b.
الخط AB هو القطبي (Polare) للنقطة D بالنسبة لΔ.
حدّد النقطة F=AC∩b.
حدّد النقطة G=BC∩a.
ليكن d هو الخط المار ب FG.
حدّد النقطة H=AB∩d.
المستقيم HC هو المماس لΔ عند النقطة C.
الخلاصة:
تتيح هذه العملية، المستندة إلى مبادئ الهندسة الإسقاطية وبالتحديد خصائص القطبية (Polarity) ، تحديد مماس لقطع مخروطي عند نقطة ثالثة عندما يكون نقطتان معلومتين مع مماساتهما. هذا إنشاء هندسي بحت ولا يتطلب قياسات مترية.
English:
Construction of a Conic Section Δ using Three Points and Two Tangents
Given: Points A,B,C∈Δ, Tangent a at point A, Tangent b at point B.
Procedure:
Determine point D=a∩b.
Line AB is the polar of D with respect to Δ.
Determine point F=AC∩b.
Determine point G=BC∩a.
Let d be line FG.
Determine point H=AB∩d.
Line HC is the tangent to Δ at point C.
Conclusion:
This procedure, rooted in the principles of projective geometry and specifically in the properties of polarity and conic incidence theorems (such as degenerate forms of Pascal's Theorem), allows for the determination of a tangent to a conic at a third point when two points and their respective tangents are known. The construction is purely graphical and does not require metric measurements.
Costruzione di una Conica per Tre Punti e Due Tangenti a due di essi
Dati: 3 Punti A,B,C∈ Δ, Tangente a in A, Tangente b in B.
Procedura:
Determina D=a∩b.
La retta AB è la polare di D rispetto a Δ.
Determina F=AC∩b.
Determina G=BC∩a.
Sia d la retta FG.
Determina H=AB∩d.
La retta HC è la tangente a Δ nel punto C.
Conclusione:
Questa procedura, radicata nei principi della geometria proiettiva e in particolare nelle proprietà di polo e polare e nei teoremi di incidenza delle coniche (come forme degenerate del Teorema di Pascal), permette di determinare la tangente a una conica in un terzo punto quando sono noti due punti con le rispettive tangenti. La costruzione è puramente grafica e non richiede misurazioni metriche. |
----
 |
| الهندسة كاستعارة: الإغلاق الأبدي للممكن |
|
سلسلة مركزية من مبرهنة بونسليه مع مضلعات نجمية متقاطعة ذاتيًا
إنشاء المضلع النجمي الخارجي
- نبدأ بتقسيم المخروطية الخارجية إلى عدد محدد من نقاط مرجعية، منظمة في 4 كتل رئيسية. كل كتلة رئيسية مقسمة بدورها إلى 4 نقاط أصغر، ليصبح المجموع 16 نقطة على المخروطية.
رسم الأضلاع (التوصيلات):
نبدأ بتوصيل النقطة "0" من الكتلة الأولى (في الأسفل) بالنقطة "1" من الكتلة الثانية (التي تليها في اتجاه عكس عقارب الساعة).
نستمر بتوصيل النقطة "1" من الكتلة الثانية بالنقطة "2" من الكتلة الثالثة.
ثم، ننتقل لتوصيل النقطة "2" من الكتلة الثالثة بالنقطة "3" من الكتلة الرابعة وهكذا ...
وأخيرًا، لإغلاق الشكل، نوصل النقطة "3" من الكتلة الثالثة بنقطة البداية 0 من الكتلة الأولى.
a Central Series of Poncelet's Porism with Self-Intersecting Star Polygons
Procedure for Constructing the Star Polygon:
Curve Subdivision: Begin by dividing the outer curve (circle or ellipse) into a specific number of reference points, organized into blocks.
Drawing the Sides: These points are connected following a well-defined increment pattern: you start from an initial point and connect it to the next point which is one block ahead and one point index ahead. This pattern continues, incrementing both the reference block and the point index within the block.
Figure Closure: The connection process continues until the last point drawn connects back to the initial starting point, thus closing the self-intersecting star polygon figure
-----
تعميم مسامية بونسيليه على الاسطح التربيعية غير المسطرة. مثلا اذا تم انشاء رباعي الوجوه المنتظم وتم تحديد الكرة المحيطة التي تمر بالرؤوس والكرة المحاطة التي تلامس الحروف، - فإن أي نقطة على الكرة المحيطة تسمح بانشاء رباعي وجوه منتظم آخر محاط ومحيط بالكرتين نفسهما.
Generalization of Poncelet's Porism to Non-Ruled Quadric Surfaces. For example, if we construct a regular tetrahedron and determine its circumsphere (passing through vertices) and midsphere (tangent to edges), then any point on the circumsphere allows the construction of another regular tetrahedron circumscribed and inscribed by the same two spheres. |
 |
cICLIDOIDE
LA SUPERFICIE CHE INVILUPPA UNa series of toric surfaces. each surface envelops a series of spheres |
