Poligono stellare- المضلع النجمي (الانشاءات)- Star polygon

Poligono stellare (costruzione)- المضلع النجمي (الانشاءات)

---

في الهندسة الاسقاطية

المضلع النجمي هو نوع من المضلعات غير المحدبة يتميز برؤوس وأضلاع تتقاطع فيما بينها، لتشكل شكلاً يشبه النجمة. بخلاف المضلعات المحدبة، التي لا تتقاطع أضلاعها إلا عند الرؤوس، فإن المضلعات النجمية تظهر تقاطعات داخلية. يتبع بناؤها وفقا لقواعد دقيقة تستند إلى تقسيم دائرة أو، بشكل أعم، المخروطية.

تعميم المضلع النجمي على القطوع المخروطية

مثال: رسم نجمة خماسية (البنتاغرام) ({5/2}

طريقة التقسيم باستخدام القطبية والأقطاب المتقارنة (للأعداد الزوجية n). هذه الطريقة مباشرة وإسقاطية بحتة لتقسيم المخروطية إلى عدد زوجي من الأجزاء المتكافئة إسقاطيًا، وهي مفيدة بشكل خاص للحصول بسرعة على 4 أو 8 نقاط أو أكثر، تستخدم القطبية بالنسبة للمخروطية ومفهوم الأقطاب المتقارنة.

1. ابدأ برسم مخروطية Δ (على سبيل المثال، قطع ناقص).
2. اختر أي نقطة P تكون داخلية لـ Δ.
3. تحديد قطبية P: أوجد الخط p، وهو قطبية النقطة P بالنسبة للمخروطية Δ. نظرًا لأن P داخلية للمخروطية، فإن قطبيتها p ستكون خطًا خارجيا بالنسبة لـ Δ).
4. تحديد قطب خارجي ونقاط ممساته (أول زوج من النقاط):
   1. اختر أي نقطة Vv' تقع على الخط p. بما أن p خارجي بالنسبة للمخروطية
   2. من Vv'، ارسم المماسين للمخروطية Δ. ليكن T3​ و T4​ نقطتي التماس لهذين الخطين مع المخروطية. هاتان النقطتان ​ هما أول نقطتين في تقسيم المخروطية. الخط الذي يربط T3​ و T4​ هو الخط القطبي لـ Vv'.
   3. إيجاد القطب المقارن Ww' (الزوج الثاني من النقاط):
   4. الخط الذي يربط نقطتي التماس (T4​T3​) يتقاطع مع القطبية p في نقطةWw. وهي القطب المقارن لـ Vv' بالنسبة لـ Δ.
   5. من النقطة Ww'، ارسم الآن المماسين للمخروطية Δ. ليكن T1​ و T2​ نقطتي التماس.

لقد حصلت الآن على أربع نقاط (T1​,T2​,T3​,T4​) على المخروطية Δ. هذه النقاط تحدد أربعة أجزاء من المخروطية متكافئة إسقاطيًا.

1. مضاعفة التقسيم (الحصول على 8 نقاط):
   1. اعتبر الرباعي المتشكل من نقاط التماس الأربع (T1​,T2​,T3​,T4​) والقطبين Vv' و Ww'.

أقطار هذا الرباعي ستتقاطع مع المخروطية Δ في أربع نقاط جديدة. هذه النقاط الجديدة تقع بين النقاط التي تم العثور عليها سابقا، مما يضاعف التقسيم إلى ثماني نقاط متكافئة إسقاطيًا.

تستغل هذه الطريقة التحويل الاسقاطي لرباعي أضلاع (الناتج عن الأقطاب والمماسات) حول القطب P وباستخدام قطبيته p كمحور. تضمن العلاقات التقابلية الناتجة عن الأقطاب والقطبيات أن الأقسام الناتجة متكافئة إسقاطيًا، مما يوفر أساسًا قويًا لرسم المضلعات النجمية على المخروطيات بطريقة فعالة ودقيقة هندسيًا.

Un poligono stellare è un tipo di poligono non convesso caratterizzato da vertici e lati che si intersecano, formando una figura simile a una stella. A differenza dei poligoni convessi, i cui lati non si intersecano se non ai vertici, i poligoni stellari presentano intersezioni interne. La loro costruzione segue regole precise basate sulla suddivisione di una circonferenza o, più generalmente, di una conica.

المضلع النجمي هو نوع من المضلعات غير المحدبة يتميز برؤوس وأضلاع تتقاطع فيما بينها، لتشكل شكلاً يشبه النجمة. بخلاف المضلعات المحدبة، التي لا تتقاطع أضلاعها إلا عند الرؤوس، فإن المضلعات النجمية تظهر تقاطعات داخلية. يتبع بناؤها وفقا لقواعد دقيقة تستند إلى تقسيم دائرة أو، بشكل أعم، المخروطية.

المضلعات النجمية على المخروطيات: معلوم مضلع خماسي عام

يستكشف هذا القسم كيفية بناء المضلعات النجمية، وتحديداً النجميات الخماسية، ليس فقط على الدوائر أو بدءا من المضلعات المنتظمة، بل على أي قطع مخروطي. يعتمد ذلك على حقيقة أن خمس نقاط ليست على استقامة واحدة ثلاثياً تحدد مخروطاً واحداً فريداً.

طريقة الانشاء

1. تحديد رؤوس المضلع الخماسي: ابدأ بخمس نقاط مميزة (P1​,P2​,P3​,P4​,P5​) على المستوى. الشرط الوحيد هو ألا تكون ثلاث نقاط منها متسامتة. 

2. تحديد المخروطية الأساسية: بما أن خمس نقاط في وضع عام تحدد مخروطية واحدة، يوجد قطاع مخروطي واحد فقط (Δ) يمر عبر كل هذه الرؤوس الخمسة.

3. تشكيل النجمة الخماسية:

   • تربط أضلاع المضلع الخماسي الأصلي الرؤوس المتجاورة (مثل P1​P2​).

   • للحصول على النجمة الخماسية (المضلع النجمي {5/2})، اربط الرؤوس "متخطياً" واحداً:

     • $P_1\leftrightarrow P_3$

     • $P_3\leftrightarrow P_5$

     • $P_5\leftrightarrow P_2$

     • $P_2\leftrightarrow P_4$

     • $P_4\leftrightarrow P_1$

   • تشكل هذه الروابط أضلاع النجمة الخماسية، والتي ستكون مرسومة داخل المخروط Δ.

الآثار الإسقاطية

توضح هذه الطريقة أن المضلعات النجمية لا ترتبط فقط بالهندسة الإقليدية والدوائر. بل هي مفاهيم إسقاطية جوهرية، ويكشف بناؤها على شكل مخروطي اعتباطي عن علاقات التلاقي العميقة التي تحكم هذه الأشكال.

انشاءات سريعة لمضلع نجميي خماسي بدءا من مضلع خماسي عام

يشرح هذا القسم كيفية بناء المضلعات النجمية، وتحديداً النجميات الخماسية، ليس فقط على الدوائر، بل على أي شكل مخروطي. تعتمد الطريقة على حقيقة أن خمس نقاط في وضع عام تحدد مخروطية واحدة فقط.

طريقة الانشاء

1. ابدأ برسم مضلع خماسي محدب؛ فرؤوسه الخمسة ستحدد تلقائياً مخروطية واحدة فقط تمر بتلك الرؤوس
2. للحصول على النجمة الخماسية (المضلع النجمي، ارسم الخطوط التي تربط الرؤوس غير المتجاورة للمضلع الخماسي. هذه الخطوط ستشكل أضلاع النجمة الخماسية، والتي ستكون مرسومة داخل مخروطية أخرى.

توضح هذه الانشاءات ان المضلعات النجمية هي مفاهيم إسقاطية جوهرية، لا تقتصر على الهندسة الإقليدية. ويكشف بناؤها على أي مخروطية عن العلاقات الهندسية العميقة التي تحكم هذه الأشكال.

Principi di Costruzione - مبادئ الانشاء

La costruzione di un poligono stellare regolare si basa sulla divisione di una curva chiusa (tipicamente una circonferenza) in un numero specifico di punti equispaziati e sulla successiva connessione di questi punti seguendo un determinato schema di "salto".

يعتمد بناء المضلع النجمي المنتظم على تقسيم منحنى مغلق (عادة ما تكون دائرة) إلى عدد محدد من النقاط المتساوية البعد، ثم ربط هذه النقاط باتباع نمط معين.

La notazione più comune per un poligono stellare regolare è {n/k}, dove:

• n rappresenta il numero totale di vertici equidistanti sulla curva. Questi vertici sono anche le "punte" potenziali della stella.

• k rappresenta il passo di connessione, ovvero il numero di vertici che si "saltano" tra un punto e il successivo per tracciare i lati della stella. Il valore di k deve essere minore di n/2 e coprimo con n (se non è coprimo, la figura sarà composta da più poligoni regolari sovrapposti piuttosto che un singolo poligono stellare).

الترميز الأكثر شيوعًا للمضلع النجمي المنتظم هو {n/k}، حيث:

• n يمثل العدد الكلي للرؤوس المتساوية البعد على المنحنى. 

• k يمثل خطوة الربط، أي عدد الرؤوس التي تتجاوزها " لرسم أضلاع النجمة. يجب أن تكون قيمة k أصغر من n/2  

Per la costruzione, i n punti sulla curva vengono numerati sequenzialmente da 0 a $n-1$. Si parte da un punto (convenzionalmente il punto 0) e si connette a quello che si trova k posizioni più avanti, e così via, fino a tornare al punto di partenza.

للبناء، يتم ترقيم النقاط n على المنحنى بالتسلسل من 0 إلى $n-1$. نبدأ من نقطة (تقليديًا النقطة 0) ونربطها بالنقطة التي تبعد k موقع للأمام عنها ، وهكذا، حتى نعود إلى نقطة البداية.

Esempio: Costruzione di un Pentagramma ({5/2}) -
مثال: بناء نجمة خماسية (البنتاغرام) ({5/2})

Il pentagramma, o stella a cinque punte, è uno degli esempi più noti di poligono stellare ed è rappresentato dalla notazione {5/2}.

البنتاغرام، أو النجمة خماسية الرؤوس، هو أحد أشهر أمثلة المضلعات النجمية ويمثله الترميز {5/2}.

Passaggi:

1. Suddivisione della circonferenza: Disegnare una circonferenza e dividerla in cinque punti ugualmente spaziati sulla sua circonferenza. È utile numerare questi punti da 0 a 4 in senso orario o antiorario. La distanza angolare tra ogni punto sarà $360^{\circ }/5=72^{\circ }$.

2. Connessione dei punti: Partendo dal punto 0, si connettono i vertici saltandone uno per volta (ossia con passo $k=2$). La sequenza delle connessioni sarà la seguente:

   • Dal punto 0 al punto 2 (saltando il punto 1).

   • Dal punto 2 al punto 4 (saltando il punto 3).

   • Dal punto 4 al punto 1 (saltando il punto 0, che però è il punto di partenza, quindi si considera il successivo nell'ordine numerico).

   • Dal punto 1 al punto 3 (saltando il punto 2).

   • Infine, dal punto 3 al punto 0 (saltando il punto 4), chiudendo così il poligono.

Questo processo genera un pentagramma in cui i segmenti si intersecano internamente, formando la caratteristica forma a stella. La figura è un singolo poligono, e il percorso di connessione ritorna al punto iniziale dopo aver toccato tutti i vertici coinvolti.

الخطوات:

1.  ارسم دائرة وقسمها إلى خمس نقاط متباعدة بالتساوي على محيطها. من المفيد ترقيم هذه النقاط من 0 إلى 4 في اتجاه عقارب الساعة أو عكسها. ستكون المسافة الزاوية بين كل نقطة $360^{\circ }/5=72^{\circ }$.

2. ربط النقاط: بدءًا من النقطة 0، اربط الرؤوس بتجاوز نقطة واحدة في كل مرة (أي بخطوة $k=2$). سيكون تسلسل الربط كالتالي:

   • من النقطة 0 إلى النقطة 2 (بتجاوز النقطة 1).

   • من النقطة 2 إلى النقطة 4 (بتجاوز النقطة 3).

   • من النقطة 4 إلى النقطة 1 

   • من النقطة 1 إلى النقطة 3 .

   • أخيرًا، من النقطة 3 إلى النقطة 0  لإغلاق المضلع.

تنتج هذه العملية بنتاغرامًا تتقاطع فيه القطع المستقيمة داخليًا. الشكل هو مضلع واحد مستمر يعود الى  نقطة البداية بعد لمس جميع الرؤوس المعنية.

---

Generalizzazione su Coniche e Aspetti Proiettivi

Mentre la costruzione classica dei poligoni stellari regolari viene solitamente illustrata su una circonferenza, il concetto può essere generalizzato a qualsiasi curva conica (ellisse, parabola o iperbole). Questo è possibile grazie ai principi della geometria proiettiva.

In geometria proiettiva, una circonferenza è considerata un caso particolare di conica. Le proprietà proiettive di una figura sono quelle che si conservano sotto le trasformazioni proiettive, come le proiezioni e le sezioni. La chiave per costruire un poligono stellare su una conica generica risiede nella suddivisione della conica in "parti proiettivamente equivalenti", dove le relazioni di incidenza e connessione sono mantenute anche se le misure euclidee (distanze, angoli) cambiano.

التعميم على المخروطيات والجوانب الإسقاطية

بينما يتم توضيح بناء المضلعات النجمية المنتظمة عادة على دائرة، يمكن تعميم المفهوم على أي مخروطية (قطع ناقص، قطع مكافئ، أو قطع زائد)،  بفضل مبادئ الهندسة الإسقاطية.

في الهندسة الإسقاطية، تعتبر الدائرة حالة خاصة من المخروطيات. الخصائص الإسقاطية للشكل هي تلك التي تُحفظ تحت التحويلات الإسقاطية. يكمن مفتاح بناء مضلع نجمي على مخروط عام في تقسيم المخروطية إلى "أجزاء متكافئة إسقاطيًا"، حيث يتم الحفاظ على علاقات التلاقي والربط حتى لو تغيرت القياسات المترية (المسافات، الزوايا).

Metodo di Suddivisione tramite Proiezione (per qualsiasi n)

Un modo per ottenere punti proiettivamente equivalenti su una conica è la proiezione:

1. Definire la conica e una circonferenza ausiliaria: Scegli la conica su cui costruire il poligono stellare. Disegna una circonferenza ausiliaria su cui dividere i n punti in modo equispaziato.

2. Suddivisione metrica della circonferenza: Numera questi n punti da 0 a $n-1$.

3. Proiezione sulla conica: Scegli un centro di proiezione e proietta i punti dalla circonferenza sulla conica. I punti risultanti sulla conica saranno proiettivamente equivalenti.

4. Connessione dei punti: Applica lo stesso schema di connessione dei vertici {n/k} come si farebbe su una circonferenza.

طريقة التقسيم بالإسقاط (لأي عدد n)

إحدى الطرق للحصول على نقاط متكافئة إسقاطيًا على مخروطية هي الإسقاط:

1. تحديد المخروطية ودائرة مساعدة: اختر المخروطية الذي ستبني عليه المضلع النجمي. وارسم دائرة مساعدة ستقوم بتقسيمها إلى n نقطة متباعدة بالتساوي.

2. التقسيم المتري للدائرة: قم بترقيم هذه النقاط n من 0 إلى $n-1$.

3. الإسقاط على المخروطية: اختر مركز إسقاط وقم بإسقاط النقاط من الدائرة على المخروطية. ستكون النقاط الناتجة على المخروطية متكافئة إسقاطيًا.

4. ربط النقاط: طبق نفس نمط ربط الرؤوس {n/k} كما تفعل على الدائرة.

Metodo di Suddivisione Rapida tramite Polarità e Poli Coniugati (per n pari)

Un metodo più diretto e puramente proiettivo per suddividere una conica in un numero pari di segmenti proiettivamente equivalenti, particolarmente utile per ottenere rapidamente 4, 8 o più punti, utilizza la polarità rispetto alla conica e il concetto di poli coniugati.

1. Scegliere la Conica e un Punto Interno: Inizia con la tua conica Δ (ad esempio, un'ellisse). Seleziona un punto P qualsiasi che sia interno a Δ.

2. Determinare la Polare di P: Trova la retta p, che è la polare del punto P rispetto alla conica Δ. Poiché P è interno alla conica, la sua polare p sarà una retta esterna a Δ.

3. Individuare un Polo Esterno e i suoi Punti di Tangenza (Prima Coppia di Punti):

   • Scegli un punto qualsiasi Vv' che giaccia sulla retta p. Essendo p esterna alla conica, Vv' sarà un punto esterno a Δ.

   • Da Vv', traccia le due tangenti alla conica Δ. Sia T1​ e T2​ i punti di tangenza di queste rette con la conica. Questi due punti T1​ e T2​ sono i primi due punti della tua suddivisione sulla conica. La retta che congiunge T1​ e T2​ è la polare di Vv'.

4. Trovare il Polo Coniugato Ww' (Seconda Coppia di Punti):

   • La retta che congiunge i punti di tangenza (T1​T2​) interseca la polare p in un punto. Chiamiamo questo punto Ww'. Ww' è il polo coniugato di Vv' rispetto a Δ.

   • Dal punto Ww', traccia ora le due tangenti alla conica Δ. Siano T3​ e T4​ i punti di tangenza.

   • Hai ora ottenuto quattro punti ($T_1,T_2,T_3,T_4$) sulla conica Δ. Questi punti delimitano quattro parti della conica che sono proiettivamente equivalenti.

5. Raddoppiare la Suddivisione (Ottenere 8 Punti):

   • Considera il quadrilatero formato dai quattro punti di tangenza (T1​,T2​,T3​,T4​) e i due poli Vv' e Ww'.

   • Le diagonali di questo quadrilatero (ad esempio, le rette che connettono Vv' a T3​ e Ww' a T1​, e le loro intersezioni) intersecheranno la conica Δ in quattro nuovi punti. Questi nuovi punti si inseriscono tra quelli già trovati, raddoppiando la suddivisione a otto punti proiettivamente equivalenti.

Questo metodo sfrutta la trasformazione di un quadrilatero (generato dai poli e dalle tangenti) attorno al polo P e usando la sua polare p come asse. Le relazioni armoniche generate da poli e polari assicurano che le suddivisioni ottenute siano proiettivamente equivalenti, fornendo una base robusta per la costruzione di poligoni stellari su coniche in modo efficiente e geometricamente rigoroso.

طريقة التقسيم السريع بالقطبية والأقطاب المتقارنة (للأعداد الزوجية n)

طريقة أكثر مباشرة وإسقاطية بحتة لتقسيم المخروط إلى عدد زوجي من الأجزاء المتكافئة إسقاطيًا، وهي مفيدة بشكل خاص للحصول بسرعة على 4 أو 8 نقاط أو أكثر، تستخدم القطبية بالنسبة للمخروطية ومفهوم الأقطاب المتقارنة.

1. اختيار المخروطية ونقطة داخلية: ابدأ بمخروطية Δ (على سبيل المثال، قطع ناقص). اختر أي نقطة P تكون داخلية لـ Δ.

2. تحديد قطبية P: أوجد الخط p، وهو قطبية النقطة P بالنسبة للمخروطية Δ. نظرًا لأن P داخلية للمخروط، فإن قطبيتها p ستكون خطًا لا يتقاطع مع المخروطية (أي أنها خارجية لـ Δ).

3. تحديد قطب خارجي ونقاط ممساته (أول زوج من النقاط):

   • اختر أي نقطة Vv' تقع على الخط p. بما أن p خارجي بالنسبة للمخروطية

   • من Vv'، ارسم المماسين للمخروطية Δ. ليكن T3​ و T4​ نقطتي التماس لهذين الخطين مع المخروط. هاتان النقطتان ​ هما أول نقطتين في تقسيم المخروطية. الخط الذي يربط T3​ و T4​ هو الخط القطبي  لـ Vv'.

4. إيجاد القطب المقارن Ww' (الزوج الثاني من النقاط):

   • الخط الذي يربط نقطتي التماس (T4​T3​) يتقاطع مع القطبية p في نقطةWw. وهي القطب المقارن لـ Vv' بالنسبة لـ Δ.

   • من النقطة Ww'، ارسم الآن المماسين للمخروطية Δ. ليكن T1​ و T2​ نقطتي التماس.

   • لقد حصلت الآن على أربع نقاط ($T_1,T_2,T_3,T_4$) على المخروط Δ. هذه النقاط تحدد أربعة أجزاء من المخروط متكافئة إسقاطيًا.

5. مضاعفة التقسيم (الحصول على 8 نقاط):

   • اعتبر الرباعي المتشكل من نقاط التماس الأربع (T1​,T2​,T3​,T4​) والقطبين Vv' و Ww'.

   • أقطار هذا الرباعي  ستتقاطع مع المخروطية Δ في أربع نقاط جديدة. هذه النقاط الجديدة تقع بين النقاط التي تم العثور عليها سابقا، مما يضاعف التقسيم إلى ثماني نقاط متكافئة إسقاطيًا.

تستغل هذه الطريقة تحويل رباعي الأضلاع (الناتج عن الأقطاب والمماسات) حول القطب P وباستخدام قطبيته p كمحور. تضمن العلاقات التقابلية الناتجة عن الأقطاب والقطبيات أن الأقسام الناتجة متكافئة إسقاطيًا، مما يوفر أساسًا قويًا لبناء المضلعات النجمية على المخروطيات بطريقة فعالة ودقيقة هندسيًا.

---

Poligoni Stellati su Coniche: Costruzione da un Pentagono Generale

Questa sezione spiega come costruire poligoni stellati, in particolare i pentagrammi, non solo su cerchi, ma su qualsiasi conica. Il metodo si basa sul fatto che cinque punti in posizione generica definiscono una conica unica.


Metodo di Costruzione

Disegna un pentagono convesso qualsiasi; i suoi cinque vertici definiranno automaticamente una conica unica (Δ) che li attraversa tutti.

Per ottenere il pentagramma (il poligono stellato {5/2}), traccia le rette che connettono i vertici non adiacenti del pentagono (le sue "diagonali").

Queste rette formeranno i lati del pentagramma, che risulterà inscritto nella conica Δ.


Implicazioni Proiettive

Questo dimostra che i poligoni stellati sono concetti intrinsecamente proiettivi, non limitati alla geometria euclidea, rivelando profonde relazioni geometriche su qualsiasi conica.