Casi d'intersezione tra Superfici di rotazioneحالات تقاطع بين اسطح دورانية

Casi d'intersezione tra Superfici di rotazione

حالات تقاطع بين اسطح دورانية

By Hasan Isawiحسن العيسوي –

2003

https://www.researchgate.net/publication/278302666_Casi_d%27intersezione_tra_Superfici_di_rotazione_____ 

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Indice 1- Superficie di rotazione 1-1- Proiezione ortogonali di una superficie di rotazione 2- Intersezione di due superfici di rotazione 2-1- Intersezione tra superfici con generatrici rettilinee 2-1-1- Intersezione tra due coni 2-1-2- Intersezione tra due cilindri 2-1-3- Intersezione tra un cono e un cilindro 2-2- Intersezione di due superfici con generatrici curve 2-3- Intersezione di due superfici, di cui una a generatrice rettilinea e_l'altra_a_generatrice_curva 2-3-1-  Tra un cilindro e una sfera 2-3-2- Tra un cilindro ed una ellissoide

1- SUPERFICIE DI ROTAZIONE (fig.1) Dati un asse di rotazione a e una curva generica D appartenenti ad un piano verticale a, ruotando detto piano intorno all'asse a di 360°, ciascun punto P del profilo D descrive una circonferenza; l'insieme di queste circonferenze forma la superficie di rotazione. Le curve tipiche costituenti la detta superficie sono: - i paralleli (sezioni con piani perpendicolari all'asse del solido); - i meridiani (sezioni con piani passanti per l'asse del solido). Altro parallelo notevole è quello di raggio minimo, inoltre sono da rappresentare il paralleli di massima e di minima quota, che delimitano la superficie. 1-1- P.O. di una superficie di rotazione Si inizia con la rappresentazione in P.O (Proiezione Ortogonali) della retta verticale a, asse di rotazione - la seconda P.O. del solido è definita dal suo contorno apparente, rappresentato dalle due curve meridiane, appartenenti al piano frontale b contenente l'asse a; - la prima P.O. del solido è costituita da una serie di circonferenze che sono proiezioni dei paralleli, dei quali saranno rappresentati solo quelli più significativi, ad esempio F, quello di raggio massimo detto parallelo equatoriale, che costituisce la 1° P.O. del contorno apparente della superficie. Altro parallelo notevole è quello di raggio minimo, inoltre sono da rappresentare il paralleli di massima e di minima quota, che delimitano la superficie. شكل 1 1-2- Intersezione di due superfici di rotazione Nella generalità dei casi, la curva d’intersezione è una quartica (curva algebrica del quarto ordine, sghemba o piana) costituita da punti comuni alle due superfici e perciò appartenenti a sezioni complanari eseguite con dei piani che intersecano ambedue le superfici . Le dette quartiche d'intersezione possono classificarsi secondo le seguenti situazioni reciproche: Quando soltanto alcune generatrici di una superficie sono secanti l’altra, per cui la quartica in comune è composta da un solo ramo detta monogrammica.  Quando tutte le generatrici di una superficie sono secanti l’altra. la quartica comune è composta da due rami detta digrammica.  شكل 2 Le quartiche possono ammettere uno o due piani di simmetria, e questo dipende dalla reciproca posizione degli assi delle due superfici. Per esempio se gli assi sono complanari, la quartica d’intersezione ammette un piano di simmetria, la giacitura dell’altro piano di simmetria si riscontra nei casi in cui gli assi sono perpendicolari tra di loro. La determinazione dei punti costituenti la quartica avviene con l’ausilio di un fascio di piani ausiliari secanti le due superfici. la scelta della giacitura di detti piani è fatta col fine di avere delle sezioni semplici da rappresentare. Ad esempio le sezioni con piani ortogonali all'asse di rotazione sono circonferenze e vengono rappresentate senza difficoltà se detto asse è perpendicolare ad uno dei piano di proiezione principali, altrimenti , si assumono altri piani di proiezione, ausiliari, di cui almeno uno abbia la giacitura perpendicolare all'asse; le sezioni proiettate su questi piani ausiliari risultano in vera forma.  Nei paragrafi seguenti vengono affrontati i vari casi d’intersezione, prendendo in esame le superfici di rotazione che hanno come generatrice meridiana una retta (coni, cilindri ) distinguendole da quelle che hanno come generatrice meridiana una curva (sfera ellissoide ..ecc.).vengono affrontati i vari casi d’intersezione, distinguendo le superfici di rotazioni in : quelli che hanno come generatrice meridiana una retta (coni, cilindri ) e in quelli che hanno come generatrice meridiana una curve (sfera ellissoide ..ecc.).

 

Intersezione tra superfici con generatrici rettilinee

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1-3- Intersezione tra superfici con generatrici rettilinee:

 1-3-1- Intersezione tra due coni (fig. 2). 

Poniamo il caso di due coni circolari retti con assi (a, b) incidenti e paralleli rispettivamente ai due piani di proiezione principali (p1,p2).

Per trovare la curva comune alle due superfici, si sezionano i due coni con un fascio di piani ausiliari passanti per i vetrici V ed E: ciascuno di questi piani taglia i due coni, secondo due generatrici. Fatta eccezione per i due piani che sono tangenti, rispettivamente all'uno oppure all'atro cono. I punti comuni alle generatrici complanari costituiscono la quartica (digrammica) d'intersezione cercata. A tal fine, si uniscono i due vertici V ed E secondo la retta r(comune a tutti i piani ausiliari), che intersecano con i piani delle direttrici, p1ed a, nei punti T'r, G.

Si vogliono trovare alcuni dei punti notevoli della quartica d'intersezione, come i punti F, H, in cui le generatrici del cono di vertice V sono tangenti alla quartica. Si Assume il piano ausiliario g per r e tangente il cono di vertice V, piano individuato sia dalla retta r che da l (retta passante per il punto G e tangente, in FE, la direttrice d del cono ad asse orizzontale). Quindi si costruisce la generatrice tangente d del cono ad asse orizzontale con il piano g, unendo il vertice E con il punto FE della direttrice orizzontale.

La sopraddetta retta l interseca il piano della direttrice del cono di vertice V nel punto T'l , che congiunto con T'r determina la retta d'intersezione t'g del piano ausiliario con quello della direttrice (p1). Una volta individuati i punti Fv 1 ed H v 1 , incidenza tra t'g con la direttrice QV1, si congiungono con Ve cosi si ottengono le due generatrici m, f, sezioni del piano ausiliario g con il cono ad asse verticale. I punti comuni tra le generatrici m, f e quella di tangenza d sono i punti cercati.

Per completare la costruzione della quartica, occorre assumere altri piani ausiliari, fino a determinare un numero sufficiente di punti. Nella figura in esame si sono determinati altri punti come A, B (quelli di massima e di minima quota), comuni in questo caso alle generatrici h, g ed e, n, sezioni rispettivamente dei due coni col piano frontale b (contenente gli assi delle due superfici).

 Nota: poiché la quartica è simmetrica, rispetto al piano b, ci siamo riferiti ad una sola parte per la determinazione dei sopraddetti punti della quartica.

شكل 3

1-3-2- Intersezione tra due cilindri (fig.3). 

Per trovare la quartica d’intersezione, i piani ausiliari secanti da assumere: sono quelli paralleli agli assi dei due cilindri, poiché contengono i vertici impropri dei due cilindri.

شكل 4

1-3-3- Intersezione tra un cono e un cilindro (fig. 4) 

La quartica d’intersezione in questo caso, è determinata assumendo dei piani ausiliari passanti per il vertice delle due superfici, vale a dire quei piani che hanno in comune la retta r, quella passante per il vertice del cono e paralleli all'asse del cilindro.

  Nota: il cilindro è considerato un cono con il vertice improprio e perciò in ciascuno dei tre casi precedenti, i piani secanti sono quelli passanti per i vertici delle due superficie presi in esame.

شكل 5

Intersezione di due superfici con generatrici curve:

Poniamo il caso (fig. 5) di due superfici con gli assi a, b incidenti ed appartenenti ad un piano di profilo. La quartica d’intersezione è digrammica e simmetrica rispetto a due piani: uno è g, l’altro è b, passante per C e con giacitura perpendicolare all’asse b, del toro.

Per la determinazione della quartica formata in questo caso dai punti comuni ai paralleli del toro ed a quelli della superficie ad asse verticale, ci serviamo di sfere ausiliarie secanti ambedue le superfici. Le dette sfere hanno il centro nel punto d’incontro C tra gli assi, quindi si ripresenta il caso d’intersezione tra superfici con assi coincidenti (perché l'asse del toro coincide con uno degli infiniti assi della sfera).cioè permesso, si deduce che le intersezioni tra le sfere ausiliarie e le superfici sono circonferenze. Nel caso in esame l’intersezione tra le sfere ausiliarie con il toro,

sono circonferenze che appartengono ai piani frontali e perciò hanno la 2° proiezione in vera forma. In 1°P.O. si presentano come segmenti (proiezioni dei diametri).

Nel caso d’intersezione tra le dette sfere con la superficie ad asse verticale, le ciconferenze-sezioni appartengono a piani orizzontali e perciò hanno la 1°P.O. in vera forma, e la 2°P.O. come segmenti.

I punti della quartica sono dunque individuabili sia in 1°che in 2°P.O. come punti comuni alle sezioni prodotte da ogni singola sfera ausiliaria con le due superfici.

Ad esempio il punto E, appartiene sia al parallelo Q del toro, che al parallelo e, sezioni , rispettivamente, della sfera con il toro e con la superficie principale. Il raggio di questa sfera secante è il segmento C?D, poiché D appartiene allo stesso parallelo-secante Q relativo al toro.

L’individuazione dei punti, A, B, di massima e di minima quota della quartica (riferendosi solo al ramo destro) è immediata e non richiede l’ausilio di sfere secanti , poiché detti punti appartengono al piano frontale b (piano di simmetria longitudinale) e quindi la 2° P.O. delle sezioni coincide con la seconda proiezione dei contorni apparenti di entrambe le superfici, rispettivamente, i paralleli, D, F, di raggio massimo e minimo del toro e la generatrice H della superficie ad asse verticale .

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Intersezione di due superfici, di cui una a generatrice rettilinea e l'altra a generatrice curva.

Tra un cilindro e una sfera.
Tra un cilindro ed una ellissoide.

شكل 6

Intersezione tra un cilindro e una sfera

Nei vari casi il tipo di curva d’intersezione dipende sia dalla reciproca posizione degli assi delle due superfici che dalla misura del loro diametro. I casi sono i seguenti:

• Si pone che il cilindro è posizionato in modo tale (fig.6), da avere tutte le generatrici secanti e l’asse non passante per il centro c della sfera.

La quartica d’intersezione che si ottiene è digrammica, composta da due rami simmetrici rispetto al piano di profilo d e perciò le seguenti descrizioni sono riferite ad un solo ramo. Nelle condizioni di giacitura in esame è conveniente l'utilizzo dei piani secanti sia frontali che orizzontali, poiché questi piani sezionano il cilindro secondo e la sfera secondo circonferenze.

Punti notevoli della quartica d'intersezione nella rappresentazione in P.O. :

1. I punti di tangenza F, E appartenenti alle generatrici di contorno apparente del cilindro in prima P.O.
2. I punti tangenza B, D appartenenti alle generatrici di contorno apparente del cilindro in seconda P.O.
3. I punti di minima e massima quota della quartica che in questo caso coincidono con i punti B, E, poiché il piano secante è frontale.
4. I punti G, H appartenenti al piano g di simmetria longitudinale della quartica, (vedi 3°P.O.), e che rappresentano con i relativi simmetrici del secondo ramo rispettivamente i punti più vicini e più lontani della quartica rispetto al piano di simmetria trasversale .

Concluse le necessaire note preliminari si procede all'individuazione dei sopraddetti punti notevoli nello spazio e nelle proiezioni ortogonali.

1. Nella 1°P.O si cercano i 2 punti in cui la quartica è tangente il contorno apparente del cilindro. Questi due punti E, F sono in comune la circonferenza g e le due generatrici b, d.vengono determinati mediante il piano orizzontale a, che seziona rispettivamente sia la sfera sia il cilindro.

la 1° P.O. della circonferenza, g1 ha il diametro individuabile in 2°P.O come segmento delimitato dai punti d’incidenza tra t"a e il contorno apparente della sfera.

La 1°P.O. delle generatrici, b1, d1 coincide con la 1° P.O. delle generatrici di contorno apparente del cilindro. La 2° P.O. b2,d2 coincide con la seconda traccia del piano a(piano proiettante in 2° proiezione).

2. Altri 2 punti notevoli sono quelli in cui la quartica è tangente al contorno apparente del cilindro in 2° proiezione ortogonale. Detti punti sono B, D, comuni alla circonferenza f e alle generatrici h, i , determinati mediante il piano orizzontale b, che seziona rispettivamente la sfera ed il cilindro.

La 1°P.O. della circonferenza, f 1 coincide con t'b (piano proiettante in prima proiezione).

La 2°P.O. f 2, ha diametro individuabile in 1°P.O come segmento delimitato dai punti d’incidenza tra t"a e il contorno apparente della sfera.

La 1° P.O. delle generatrici, h1, i1 coincide con prima traccia del piano, t'b. la 2° P.O., h2, i2 coincide con la 2° P.O. delle generatrici di contorno apparente del cilindro.

3. I punti G, H della quartica sono rispettivamente il punto più vicino e quello più lontano, rispetto al piano di simmetria trasversale. Tali punti sono in comune all circonferenza n e alle due generatrici m, l. Ambedue le sezioni sono eseguite con il piano g (piano di simmetria trasversale), che contiene l'asse del cilindro e passa per il centro della sfera.

La terza proiezione delle dette sezioni coincide con t'''g. La prima e la seconda P.O. della circonferenza,n1ed n2, sarebbero ellissi, quindi per trovarne la vera forma si effettua il ribaltamento del piano secante g su uno dei piani di proiezione oppure su un piano ad essi parallelo; in questo caso ribaltando g sul piano di profilo d si hanno le sezioni ribaltate, n* ed l* , m*, dalla cui intersezione si hanno i punti G*,H*. Le distanze G*-G3 ed H*-H3 sono uguali alle distanze intercorrenti tra le 2°P.O. dei punti, G2,H2 e la seconda traccia del piano, t"d , ospitante detto ribaltamento; si noti che la 1° e 2° P.O. dei punti G,H sono altrettanto individuabili assumendo dei piani secanti orizzontali, le cui tracce sono individuabili in 3°P.O., poiché passano per G3 e H3. Con procedimento analogo a quello del punto 1 si individuano i suddetti punti.

Si pone il caso (fig.7) in cui il cilindro è posizionato in modo tale da avere due generatrici, e e f, tangenti alla sfera, il risultato dell'intersezione è un quartica costituita da un solo ramo detta monogrammica.

Per trovare alcuni dei punti notevoli della quartica, come e, f quelli in cui la quartica è tangente le generatrici del cilindro. A tale fine si considera il piano a che passa per il centro della sfera ed ha giacitura perpendicolare all’asse del cilindro (il piano di simmetria trasversale della quartica). le sezione del piano a con la sfera e con il cilindro sono, rispettivamente, le circonferenze Q e d F. I punti in comuni a tali circonferenze sono quelli cercati G, F.

Altri punti notevoli sono A ed B: quelli di minima e di massima quota della quartica, la cui determinazione è immediata e avviene assumendo il piano frontale b, che contiene sia il centro della sfera che l’asse del cilindro (il piano di simmetria trasversale della quartica). Detto piano seziona sia il cilindro sia la sfera secondo, rispettivamente, le generatrici m, n e la circonferenza D; i punti comuni alle dette sezioni sono quelli cercati.

Oltre ai sopraddetti punti notevoli della quartica occorrono altri punti generici come M ed N, che appartengono sia alla circonferenza Y, che ha la 2° P.O. in vera forma, sia alle generatrici m, n; la determinazione di tali sezioni avviene assumendo il piano ausiliario frontale g.

شكل 7

·          Si pone il caso (fig.8) in cui il cilindro ha la sola generatrice b tangente la sfera e le altre generatrici secanti la stessa. Il risultato dell'intersezione tra le due superfici è una quartica composta da due rami che hanno il punto D in comune, detta finestra di Viviani.

• Un caso particolare (fig.9) si ha quando il cilindro ha il diametro più piccolo rispetto a quello della sfera ed ha l’asse a passante per il centro c della stessa (fig.9). Il risultato dell'intersezione è composto da due circonferenze D e F, che oltre ad avere lo stesso diametro del cilindro sono anche simmetriche rispetto al piano a, poiché passa per il centro della sfera ed ha la giacitura perpendicolare all'asse del cilindro.

Nota: se il diametro del cilindro fosse uguale a quello della sfera non si ha intersezione ma tangenza secondo il parallelo equatoriale

Conclusione: In tutti i casi d'intersezione tra cilindro e sfera, la curva d'intersezione, sia una circonferenza sia una quartica (monogrammica, digrammica), ammette due piani di simmetria: uno con la giacitura contenente gli assi delle due superfici, e l’altro contenente il centro della sfera e perpendicolare all'asse del cilindro.

شكل 8

شكل 9

Intersezione di un cilindro ed una ellissoide (fig.9) 

Si pone il caso in cui la curva d’intersezione tra le due superfici, sia composta, da due ellissi, D, G : sezioni della superficie cilindrica con i due piani verticali d, f.

Per la definizione di una superficie di rotazione, secondo il sopracitato principio, occorrono un’asse di rotazione e una curva meridiana. Nel caso in esame l’ellissoide ha b come asse di rotazione (la retta d’intersezione tra i due piani a, b) e H come curva meridiana la cui determinazione avviene ribaltando i vari punti di una delle due ellisse D, G, sul piano frontale b( contenente l’asse b).

La cerniera di ribaltamento è la retta d’intersezione tra i due piani d, f, ad esempio il ribaltamento del punto D^ appartenente all’ellisse G avviene tramite la circonferenze L, che ha come raggio il segmento EˉD^ con direzione perpendicolare all’asse b e come centro il punto E.

Il completamento della detta curva meridiana H (semi ellisse) avviene adottando il principio della proiettività tra fasci di rette secondo il quale la conica è individuata se sono noti cinque suoi punti.

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شكل 10

 

شكل 11

 

منحنى تربيعي

منحنى تربيعي (أو منحنى ثلاثي الابعاد) في هو منحنى فراغي يتم الحصول علية في معظم حالات التقاطع بين أسطح دورانية (مخروط, كرة, اسطوانة , سطح اهليجي ... الخ).

يمكن تحديد التربيعي عن طريق إيجاد نقاط مشتركة لعدة مقاطع اجريت للسطحين المعنيين. هذه المقاطع عادة ما يتم الحصول عليها بواسطة مستويات مساعدة متوازية فيما بينها.

وفقاً للمواضع المتبادلة للسطحين المتقاطعين، يمكن تصنيف المنحنى ألتربيعي كما يلي :

·         تربيعي بطيه واحدة (Monogrammica), عندما تتقاطع فقط مجموعة من رواسم السطحين

·         تربيعي بطيتين (Digrammica) عندما تتقاطع جميع رواسم واحد من السطحين مع الأخر.

·         نافذة فيفياني (Viviani's window), وهو حالة خاصة من التربيعي بطيتين, حيث واحد من رواسم السطحين المتقاطعة يكون متماس للسطح الأخر.

تقاطع اسطوانة وسطح اهليلجي

لنفترض الجالة التي يكون فيها منحنى التقاطع بين الاسطح الدورانية مكون من اهلجين D, G  : ناتجين من تقاطع سطح أسطواني مع اثنين من المستويات الرأسية  d, f

لتعريف سطح التناوب ، وفقا لمبدأ المعلوم، هناك الحاجة الى  محور دوران و راسم  ينتميان الى نفس المستوى.  في هذه الحالة (الشكل المرفق) السطح  الإهليلجي لديه b كمحور دوران ( خط تقاطع المستويين  a, b) والاهليج H كراسم. الذي يمكن تحديده  بتدوير  بعض نقاط واحد من الاهليجين D, G  ، على واحد من المستويات المارة بالمحور  b . مثلا تدوير النقطة D^ المنتمية للاهليج G يحصل بواسطة الدائرة   L  , التي نصف قطرها المستقيم EˉD المنتمي للخط العمودي على المحور  b.
استكمال الاهليج  H  الذي يمثل راسم السطح الاهليجي , يأتي من خلال اعتماد مبدأ الاسقاط بين حزمة من الخطوط , وفقا لهذا المبدأ يمكن تحديد الاهليج اذا علمت 5 من نقاطه, مثل النقطة D التي سبق ذكرها اعلاه.

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