l'ombra portata di una sfera prodotta da una sorgente propria, su un piano, puo essere interpretata come sezione di tale piano con un cono di rotazione inviluppante la sfera ed avente vertice coincidente con la sorgente luminosa.
La sezione ∆* tra il cono e il piano che riceve l'ombra e' un ellisse che e' l'ombra di ∆ separatrice d'ombra della sfera.
la separatrice d'ombra ∆. si ottiene con un piano alfa ortogonale all'asse del cono. inoltre questa separatrice e' luogo dei punti di tangenza tra le generatrici del cono e la sfera.
Tecnicamente:
- si traccia un piano di luce verticale λ passante per il centro C della sfera. e si determina la circonferenza phi come sezione tra λ e la sfera. in questo caso Phi e' una circonferenza massima, dato che λ seziona la sfera per il suo centro.
- il piano λ taglia anche il cono secondo due generatrici che tangono la circonferenza phi nei punti P ed N. Questi punti rappresentano il diametro P-Q della separatrice ∆. Inoltre questo diametro appartiene alla retta di massima pendenza del piano alfa ortogonale all'asse del cono nel punto M. l'ombra del diametri P-N della circonferenza ∆ e' l'asse maggiore dell'ellisse ∆*, che rappresenta 'ombra potata della sfera. l'asse minore di ∆*, passa per il punto medio M* dell'asse maggiore P-N in modo ortogonale allo stesso P-Q.
- Con un raggio di luce inverso passante per M* si individua M come intersezione con la retta m. Dal punto M si traccia una retta g perpendicolare ad m e dove g incontra la circonferenza ∆ si individuano i punti E ed F. le ombre di questi rappresentano gli estremi dell'asse minore di ∆*.
C'è da notare che il centro della circonferenza ∆ proiettata da un punto proprio S, su un piano, non coincide con il centro dell'ellisse ∆* proiezione di tale circonferenza ∆.
Premodellazione
la premodellazione indica in generale quel insieme di operazioni di costruzioni geometriche necessarie per la generazione dei modelli tridimensionali. ovvero le operazioni di costruzioni geometriche che spesso sono eseguiti con metodo di Monge per definire gli elementi minimi indispensabili per generare i modelli tridimensionali. Per esempio le costruzioni geometriche per modellare i solidi rappresentati in figura (la sfera ed il cono luminoso che la inviluppa), sono cosi ordinate:
-
- si disegna una circonferenza in prima proiezione che rappresenta il contorno apparente della sfera
- si disegna in prima proiezione una retta passante per il centro della sfera. questa retta rappresenta la traccia del piano verticale beta passante per l'asse del cono luminoso, per cui coincide con la prima proiezione dell'asse.
- si disegna la linea di terra parallela alla prima traccia di del piano beta
- si disegna la sfera in seconda proiezione copiando la circonferenza in prima con direzione perpendicolare alla linea di terra. e poi stabilendo che la sfera poggia a terra, la circonferenza copiata in seconda deve tangere la linea di terra ed avere quota positiva, cioè' deve stare sopra le linea di terra
- si disegna la seconda proiezione del cono luminoso in modo che tange la circonferenza in seconda proiezione, ovvero si fissa il vertice S2 in modo che possa simulare una sorgente che abbia una quota poco superiore rispetto a quella del punto chiave della sfera, e poi da S2 si tracciano le due rette tangenti la circonferenza in seconda. Tali due rette rappresentano il contorno apparente del cono in seconda proiezione.
Modellazione solida
A questo punto dopo che abbiamo definito le posizioni dei necessari elementi nel metodo di Monge (in bidimensionale), si passa alla fase di generazione dei modelli solidi, e a posizionarli nello spazio:
- si modella la sfera con centro in C2 e raggio = al raggio della circonferenza di contorno apparente in prima proiezione ( o in seconda) .
- si raddrizza la sfera specificando la linea di terra come cerniera e specificando il valore 90 come angolo di rotazione.
- si trasla la sfera ad una distanza = al aggetto del punto C, tecnicamente il primo punto di trascinamento e' il punto d'intersezione tra la linea di terra con la retta di richiamo C1-C2, il secondo punto e' C1. In questo modo abbiamo già finito di posizionare la sfera nello spazio.
- per modellare il cono si disegna un triangolo retto che che abbia l'angolo retto in C2 e che abbia un vertice nel punto di tangenza P e l'altro nel vertice V2. e poi si genera il modello del cono specificando il triangolo come figura da generare intorno all'asse S2-C2 secondo un angolo di rotazione giro.
Per posizionare il modello del cono, si procede in modo analogo alle operazioni eseguite per raddrizzare la sfera.
per poter completare la modellazione del cono con base ∆* sul piano xy, si scala il cono avendo come punto base il vertice S e si specifica un valore di scala che produce un ingrandimento del cono che abbia sezione retta totalmente in quota negativa. In questo modo si può tranciare il cono specificando il piano xy come piano di taglio, e specificando un punto in quota positiva per indicare che si vuole conservare la parte superiore del cono. La sezione ellittica ∆* che stata ottenuta rappresenta l’ombra portata della sfera. Per determinare la circonferenza ∆ separatrice d’ombra della sfera, bisogna determinare il contorno apparente della sfera rispetto al vertice S, ovvero la circonferenza comune alla sfera e al cono luminoso. Esiste in autocad il comando "Intersection" che permette di determinare la parte in comune a due solidi, ma questo commando non funziona quando la parte in comune e’ una figura piana, che in questo caso la circonferenza . per cui occorre determinare tale sezione con procedura grafica come quella descritta all’inizio di questo paragrafo. La quale consiste nel tagliare la sfera ed il cono con un piano verticali passante per il centro della sfera e per il vertice del cono, e nel individuare i punti di tangenza P N tra le due sezioni ottenute, che sono la circonferenza massima Φ come sezione con la sfera e le due generatrici S-N* e S-P* come sezione con il cono. I punti di tangenza P N tra questi sezioni rappresentano gli estremi del diametro della circonferenza ∆.
Per poter generare questa circonferenza ∆, si dispone il piano di costruzione xy in modo che passi per detto diametro P-N e che abbia giacitura ortogonale all’asse del cono, e poi si procede a sezionare la sfera (o il cono) per ottenere la cercata circonferenza ∆.
Come abbiamo notato le fasi di premodellazione e modellazione non sono cosi nettamente distinti, e possono fondersi come accaduto ad esempio nel caso della determinazione della separatrice d’ombra ∆ della sfera.
La domanda che nasce spontanea perché trovare la separatrice d’ombra della sfera quando essa può essere generata in modo automatico. la risposta risiede nel vero compito della della geometria descrittiva, che come abbiamo più volte detto, debba essere quello di insegnare le regole dello spazio in modo da poter intervenire in ogni fase di modellazione e di rappresentazione. Quindi determinare ad esempio quella circonferenza ∆ aiuta anche nei casi in cui occorre determinarla in una composizione progettuale e non immateriale come nel caso dell’ombra affrontato. Quindi, la geometria descrittiva deve insegnare di poter controllare ogni possibile situazione spaziale sia essa teorica che pratica con particolare attenzione all'architettura nella sua infinita composizione.المقطع ∆* بين المخروط والمستوى الذي يتلقى الظل هو اهليج ويمثل ظل فاصل الظل ∆ للكرة .
يتم الحصول على فاصل الظل Δ باستخدام مستوى عمودي على محور المخروط. وعلاوة على ذلك ، فالفاصل هو المحل الهندسي لنقاط التماس بين رواسم المخروط والكرة.
تقنياً :
- نحدد مستوى ضوء رأسي λ بحيث يمر بمركز الكرة C. نحدد الدائرة Φ كتقاطع بين λ و الكرة. في هذة الحالة المقطع Φ هي دائرة عظمى لان المستوى λ يمر بمركز الكرة. المستوى λ يقطع ايضاً المخروط الضوئي وفقاً لراسمين. التان يتمسان الكرة في النقطتين P و N. هذة النقطتان يمثلان قطر الدائرة ∆ فاصلة الظل. وعلاوة على ذلك هذا القطر ينتمي الى الخط أقصى انحدار للمستوى α العمودي على محور المخروط في النقطة M . ظل القطر P-N هو المحور الاكبر للاهليج ∆*, الذي يمثل الظل الساقط للكرة. المحور الاصغر للاهليج ∆* يمر بالنقطة الوسطى M* للمحور P-N بشكل عمودي على نفس المحور.
بشعاع الضوء العكسي المار بالمركز M* نحدد النقطة M كتقاطع مع الخط m. من النقطة M نرسم خط عمودي على خط اقصى انحدار m وحيث يتلاقى مع الدائرة ∆ نجد النقاط E و F . ظل هذة النقط يحدد اطراف المحور الاصغر للاهليج ∆*.
وتجدر الإشارة إلى أن اسقاط مركز الدائرة ∆ من قمة المخروط S لا يتطابق مع مركز الاهليج ∆* مسقط تلك الدائرة.
إنشاءات ما قبل النمذجة
تشير بشكل عام إلى العمليات التحضيرية من الإنشاءات الهندسية الضرورية لتوليد نماذج ثلاثية الأبعاد. أو بالأحرى الإنشاءات الهندسية التي يتم تنفيذها في كثير من الأحيان في طريقة مونج لتحديد الحد الأدنى من العناصر اللازمة لتوليد نماذج ثلاثية الأبعاد. على سبيل المثال ، الإنشاءات الهندسية لنمذجة المجسمات الصلبة في الشكل -- (الكرة والمخروط المحيط بها) يتم بالترتيب التالي :
- نرسم دائرة لتمثيل الكفاف الظاهر للكرة في الإسقاط الأول.
- نرسم خط لتمثيل الأثر الأول للمستوى β المار بمركز الدائرة C1والذي ينبغي أن يمر بمحور مخروط الضوء .
- نقوم برسم خط الأرض موازي للأثر الأول للمستوى β
- نرسم الدائرة لتمثيل الكفاف الظاهر للكرة في الإسقاط الثاني
وبافتراض أن الكرة تمس مستوى الإسقاط الأول، ينبغي أن تكون هذه الدائرة فوق خط الأرض وماسة له .
- نرسم الإسقاط الثاني للمخروط بحيث يكون محيط للدائرة . عملياً نثبت قمة الرأس S2 (مصدر الضوء النهائي) بحيث تكون أعلى من الدائرة , ومن S2 نرسم خطين متماسين الدائرة لتمثيل الكفاف الظاهر للمخروط في الإسقاط الثاني.
النمذجة الصلبة
في هذه المرحلة, بعد حددنا العناصر المطلوبة في طريقة مونج (ثنائية الأبعاد) ، سنواجهه عملية توليد النماذج الصلبة ، ووضعها في المكان المقرر لها :
- نولد الكرة بمركز في C2 وبنصف قطر يساوي نصف قطر دائرة الكفاف الظاهر في الإسقاط الأول (أو الثاني).
- نقوم بعملية تقويم (عكس انقلاب) الكرة بتحديد خط الأرض كمفصلة والقيمة 90 درجة كزاوية للدوران.
- نقوم بإزاحة الكرة بمسافة تساوي بروز النقطة C1 . عملياً نحرك الكرة من نقطة تقاطع خط التناظر مع خط الأرض إلى النقطة C1. بهذه الطريقة فقد ضعنا الكرة في موضعها المعيين.
- من أجل نمذجة المخروط نرسم مثلث بزاوية قائمة رأسها في النقطة C2 والرأسين الآخرين, بالتوالي, في نقطة التماس P ( أو في N) و في النقطة V2. ومن ثم نقوم بعملية توليد نموذج المخروط بتحديد المثلث كراسم والخط C2 - S2 كمحور والقيمة 360درجة كزاوية للدوران.
لوضع نموذج المخروط في المكان المعيين له، نشرع بطريقة مماثلة للعمليات السابقة التي أجريت في حالة الكرة.
لاستكمال نمذجة المخروط مع القاعدة الاهليجية ∆* على المستوى xy ، نقوم بعملية تحجيم المخروط بحيث يكون مقطعة القائم في ارتفاع سلبي (اي اسفل المستوى xy) وبتثبيت القمة. S بعد هذة العملية يمكن قطع المخروط بتحديد مستوى الاسقاط الاول كمستوى قاطع، وبتحديد نقطة بارتفاع إيجابية للاشارة الى الجزء العلوي الذي يراد الاحتفاظ بة. تشير إلى أن كنت تريد أن تبقي الجزء العلوي من مخروط. المقطع الأهليلجي ∆* الذي يتم الحصول من تقاطع المخروط مع المستوى xy يمثل الظل الساقط للكرة على نفس المستوى xy . لتحديد الدائرة فاصلة الظل للكرة, ينبغي تحديد الكفاف الظاهر للكرة بالنسبة لمصدر الضوء. والذي هي الدائرة المشتركة بين الكرة ومخروط الضوء. في هذا الصدد هناك أمر في أوتوكاد "Intersection" يسمح بايجاد الجزء المشترك بين مجسمين ، ولكن هذا الأمر لا يعمل عندما المجسمين يكونان في حالة تماس, او بالاحرى عندما يكون الجزء المشترك شكل مستوي والذي في هذة الحالة يتمثل في الدائرة. لذلك وبما ان هذة المسألة لا تجد حل بطريقة تلقائية, ينبغي استخدام الانشاءات الهندسية مثل تلك التي فسرت في بداية هذا المثال . التي تكمن في قطع كلا المخروط والكرة بمستوى رأسي يمر بقمة المخروط وبمركز الدائرة, ومن ثم العثور على نقاط التماس P N بين المقاطع التي تم الحصول عليها ، والتي هي الدائرة Φ نتيجة التقاطع مع الكرة, والراسمين S-P*, SN* نتيجة التقاطع مع المخروط السندات الإذنية نقاط تماس بين هذه المقاطع التي تمثل طرفي الملعب دائرة قطرها Δ. . نقاط التماس P N بين هذه المقاطع التي تمثل طرفي قطر الدائرة المطلوبة Δ
لإنشاء هذه الدائرة ∆، نضع مستوى الانشاء xy بحيث يمر بالقطر P-N ويكون عمودي على محور المخروط ، ومن ثم يتم قطع المخروط باستخدام الامر section بتحديد xy كمستوى قاطع.
ملاحظة
كما لاحظنا في كثير من الاحيان مرحلتان "ما قبل النمذجة" والنمذجة ليستا منفصلتان بشكل واضح ، ويمكن أن تكونان مُندمجان كما حدث في حالة تحديد فاصل ظل الكرة Δ في المثال السابق.
السؤال الذي يطرح نفسه: لماذا إيجاد فاصل ظل الكرة عندما يمكن الحصول علية تلقائياً. الإجابة تكمن في المهمة الحقيقية للهندسة الوصفية ، والتي كما قلنا مرارا وتكرارا ، يجب أن يكون هدفها تعليم قواعد الفراغ حتى تمكن الطالب-المعماري من التدخل في أي مرحلة من مراحل النمذجة والاظهار. وهذا يعني انة عندما يتم تحديد مثلاً الدائرة Δ فان هذا يساعد أيضا في الحالات التي يكون من الضروري تحديد تكوين تصميمي مادي. وبالتالي ، تعليم الطالب على السيطرة على كل وضع ممكن في الفراغ النظري والعملي مع إيلاء اهتمام خاص للعمارة في تكويناتها اللانهائية.Hasanisawi/اساليب الاظهار-نظرية الظلال
