Geometria descrittiva in 3D: 01/2024

الدكتور حسن العيسوي Hasan ISAWI

---------

تعبئة قبة كروية بدوائر متماسة لبعضها البعض، حول المحور العمودي الرئيسي

لـلقبة نفسها

A packing of circles on a spherical dome k, constructed around the main vertical axis of k

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

Classical cyclid surface built on the sphere تُظهر الصورة المرفقة سطح من أربعة سطوح دويرية مبنية على كرة. وهي تشكل السطح الغلافي الناتج عن التحويل الإسقاطي لثلاث كرات.
The attached image shows one of the four generated cyclides, constructed on the sphere. It represents the envelope surface resulting from the projective transformation of the three previously mentioned spheres.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
L'immagine allegata mostra una delle quattro ciclidi ottenute, costruita sulla sfera. Essa costituisce la superficie di inviluppo generata dalla trasformazione proiettiva delle tre sfere precedentemente menzionate

بعد تحديد الأزواج الأربعة من الدوائر المتماسة لثلاثة قطوع لكرة، سأحاول إنشاء أربع اسطح دورية تشترك بثلاث كرات مارة بالقطوع المذكورة.
After determining the four pairs of circles tangent to the three sections of a sphere k, the next step is to try to construct the four cyclides that share three spheres passing through the mentioned sections.
Dopo aver determinato le quattro coppie di circonferenze tangenti alle tre sezioni di una sfera k, si tenta di costruire le quattro ciclidi che hanno in comune tre sfere passanti per le suddette sezioni.

منظور من الأعلى لحجم كروي مغطى بسلسلة قطبية من الأسطح القنوية الحلزونية
The model illustrates a polar series of a helical channel surface that covers a spherical volume.
Il modello illustra una serie polare di una superficie canale elicoidale che ricopre un volume sferico. https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html Date 17 May 2025

Polyhedral Approximation of a Generic Two‑Sheet Hyperboloid via a Projective Polar System, Showing Only One Sheet
The image illustrates a polyhedral approximation method applied to one sheet of a generic two‑sheet hyperboloid k, based on the projective transformation of a generic polar system with respect to k. The surface is discretized into planar panels—octagons and quadrilaterals—whose sizes and orientations are determined by the polar system configuration and the positions of points P and Q along the generation axis d. This approach yields a mesh without predefined symmetries that faithfully reproduces the non‑ruled curvature of the hyperboloid

تقريب متعدد السطوح لقطع زائد عام مكون من طيتين عبر التحويل الاسقاطي
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Approssimazione poliedrica di un iperboloide a due falde generico tramite sistema polare proiettivo, con visualizzazione di una sola falda
L’immagine presenta un metodo di approssimazione poliedrica applicato a una falda di un iperboloide generico a due falde k, basato sulla trasformazione proiettiva di un sistema polare generico rispetto a k. La superficie viene discretizzata in pannelli planari — ottagoni e quadrilateri — le cui dimensioni e orientamenti sono determinati dalla configurazione del sistema polare e dalla posizione dei punti P e Q sull’asse di generazione d. L’approccio produce una mesh priva di simmetrie predefinite, in grado di riprodurre fedelmente la curvatura non‑ruled dell’iperboloide.

Approssimazione poliedrica di un paraboloide generico

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

Anche quando la ricerca di novità volumetrica sembra allontanarsi dalla regolarità geometrica, principi di armonia ed equilibrio permangono, specialmente in contesti di trasformazioni proiettive e composizioni intenzionali; in tali scenari, le proprietà geometriche preservate dalle trasformazioni e la logica intrinseca nella disposizione non casuale degli elementi generano una coerenza interna e un equilibrio dinamico, dove l'armonia non risiede nella ripetizione esatta ma nelle relazioni sottili e nell'intenzione progettuale che sottende la forma finale

حتى عندما يبدو البحث عن أساليب جديدة مبتعدًا عن الانتظام الهندسي، فإن مبادئ الانسجام والتوازن لا تزال قائمة، خاصة في سياقات التحولات الإسقاطية؛ حيث الخصائص الهندسية المحفوظة بواسطة هذه التحولات والمنطق الكامن في الترتيب غير العشوائي للعناصر تخلق اتساقًا داخليًا وتوازنًا ديناميكيًا، حيث لا يكمن الانسجام في التكرار الدقيق بل في العلاقات التناسبية والقصد التصميمي الذي يكمن وراء الشكل النهائي.

Even when the pursuit of new stylistic approaches seems to deviate from geometric regularity, principles of harmony and balance persist, especially in contexts of projective transformations and intentional compositions; in such scenarios, the geometric properties preserved by the transformations and the inherent logic in the non-random arrangement of elements create an internal consistency and a dynamic equilibrium, where harmony does not lie in exact repetition but in the subtle relationships and the design intention underlying the final form

The packing of a generic paraboloid

The image shows the interior of a large paraboloid-shaped vault, punctuated by a series of flat panels each cut into an ellipse.

The result is an architectural environment that combines geometric rigor and material lightness, transforming the form into a dynamic perceptive experience.

تعبئة سطح مكافئ عام

L’immagine mostra l’interno di una grande volta a forma di paraboloide, scandita da una serie di pannelli piani ciascuno ritagliato in un’ellisse.

Il risultato è un ambiente architettonico che unisce rigore geometrico e leggerezza materica, trasformando la forma in un’esperienza percettiva dinamica.

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

تعميم المفهوم الكلاسيكي لسلسلة شتاينر

يستخدم منهجي الهندسة الإسقاطية للتعامل مع المخروطيات العامة،

ويتجنب الحسابات الجبرية المعقدة، ويعمم المفهوم الكلاسيكي لسلسلة شتاينر (Steiner)

Generalized Steiner Chains

Projective geometry was used to handle general conic sections, avoid complex algebraic calculations, and generalize the classical concept of Steiner chains

Catene di Steiner Generalizzate

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

Il mio approccio sfrutta la geometria proiettiva per gestire le direttrici generiche, evita calcoli algebrici complessi, generalizza il concetto di catena di Steiner oltre le configurazioni classiche.

Approssimazione poliedrica di un ellissoide generico- https://i.pinimg.com/736x/33/e1/43/33e143dc0171bbecfd5014aea7fc7f36.jpg

bisogna classificare l'impacchettamento secondo l'esistenza della lente sferica

في البحث العلمي يحدث ان كل محاولة لتعميم حل لمشكلة معينة يؤدي إلى توليد سلسلة من الاكتشافات والروابط غير المتوقعة. وبدلاً من أن تقودنا عملية البحث إلى استنتاج نهائي واحد، فهي تنفتح وتتوسع على سلسلة من الأسئلة والتحليلات الجديدة. إنها عملية ديناميكية، حيث أن محاولة لإغلاق باب واحد تؤدي على الفور إلى فتح العديد من الأبواب الأخرى.

مثلا في مشكلة تعبئة سطح كروي بكرات متماسة لبعضها البعض اكتشفت ان السطح الذي يغلف هذه الكرات يتكون من سطح حلقي (Cyclide). والمغلف لهذه السطوح عادة ما يكون عدسة كروية.

ومحليا لاحظت أن كل كرة من كرات التعبئة تكون متماسة لستة كرات أخرى، والسطح الذي يغلفها يكون بدوره سطح حلقي آخر. وأن كل كرة من كرات التعبئة تكون مشتركة بين ثلاثة سطوح حلقية.

وبهذا فإن عمليات التقاطع والتغليف تؤدي إلى توليد عدد لا نهائي من الاسطح الحلقية والعدسات الكروية. وكل محاولة لتعميم الحل تفتح آفاقاً جديدة من الروابط والتفاعلات الهندسية.

Come spesso accade nella ricerca scientifica, il tentativo di generalizzare un concetto apparentemente tecnico può dare origine a una serie di scoperte e connessioni inaspettate. Invece di condurci a un'unica conclusione finale, l'idea iniziale si apre e si espande ad una serie di nuove domande e indagini. Si tratta di un processo dinamico, in cui la conseguenza del tentativo di chiudere una porta fa immediatamente aprire molte altre.

il case generale: impacchettamento della quadrica non rigata con altre quadriche tangenti tra loro. Gli esperimenti descrittivi e analisi concettuali hanno rivelato che l'inviluppo di ogni serie di sfere d'impacchettamento, ad esempio, di una data sfera forma un ciclide. l'inviluppo di queste Ciclidi nella maggior parte dei casi è costituito da una lente sferica.
A livello locale, ho notato che ciascuna delle sfere di impacchettamento è tangente ad altre sei sfere, che sono inviluppate da un'altra ciclide.
Ogni sfera di impacchettamento è comune a tre diverse ciclidi.
Il processo di intersezione e inviluppo genera un numero infinito di ciclidi e lenti sferiche. per cui il tentativo di generalizzare la soluzione ad un problema specifico, apre nuove strade a un panorama complesso di connessioni ed interazioni geometriche.

Asse tangente

Asse tangente
Il paradosso stridente risiede nella grandezza degli edifici religiosi che si ergono imponenti, sordi al lamento delle viscere vuote

Asse tangente- trasformazioni di sfere tangenti tra loro

تعبئة حلزونية لسداسيات محدبة غير منتظمة داخل دائرة
يتم الحصول على هذا النمط باستخدام شبكة سداسية غير منتظمة داخل دائرة: في حين تظل السداسيات، محدبة، تكبر تدريجيًا عندما تبتعد عن المركز لملء المساحة المتبقية على طول الحافة الدائرية، حيث يتبع كل سداسي مسارا حلزونيا.
https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html
Spiral Irregular Hexagonal Packing within a Circle
The pattern is formed by cropping a hexagonal grid of convex The pattern is obtained using an
irregular hexagonal grid inside a circle: the hexagons, while remaining convex with six sides, gradually change shape and size as one moves away from the center to fill the residual space along the circular edge, and each “ring” of cells is rotated by a small angle with respect to the previous one, generating a >hint of a spiral in the connection lines between the sides;
Il pattern è ottenuto usando una griglia esagonale irregolare all’interno di una circonferenza: gli esagoni, pur rimanendo convessi a sei lati, cambiano gradualmente forma e dimensione man mano che ci si allontana dal centro per colmare lo spazio residuo lungo il bordo circolare, e ogni “anello” di celle è ruotato di un piccolo angolo rispetto al precedente, generando un accenno di spirale nelle linee di connessione tra i lati; questa disposizione è studiata in ambito di packings circolari esagonali a spirale,

coni diretti e inversi

Le due omeghe

حجم هندس مجرد ناتج عن تقاطع أربعة مخاريط دوالية مع سلسلة من المخاريط المولدة سواء مباشرة او معكوسة. وعند قطع هذا التشابك المعقد بمستوى، فإن القطوع المخروطية الناتجة عن تقاطع المخاريط الدوالية تكون مماسة للقطوع المخروطية للمخاريط المولدة.

The visualized form is an abstract architectural volume obtained from the intersection of four director cones with a series of direct and inverse generator cones. Sectioning this complex interplay with a plane results in the conic sections of the director cones being tangent to the conic sections of the generator cones. The image thus visually represents a geometric process of intersections and sections, where the pre-existing tangency relationships between the conical elements manifest in the final shapes revealed by the sectioning plane.

La forma visualizzata è un volume architettonico astratto ottenuto dall'intersezione di quattro coni direttori con una serie di coni generatori diretti ed inversi. Sezionando questo complesso intreccio con un piano, le coniche risultanti dall'intersezione dei coni direttori risultano tangenti alle sezioni coniche dei coni generatori. L'immagine rappresenta quindi visivamente un processo geometrico di intersezioni e sezioni, dove le preesistenti relazioni di tangenza tra gli elementi conici si manifestano nelle forme finali rivelate dal piano di sezione.

الاستعارة هي أن المباني السكنية ترص في مساحات صغيرة في المدن الكبيرة، كرص المشتريات بسرعة في كيس بلاستيكي.

polar series of surface helical channels around a sphere

منظور جوي لغلاف مكون من كرتين متقاطعتين، مما يخلق مساحة مقعرة. يمكن تصور هذه المساحة على أنها سطح دوراني، تم الحصول عليه عن طريق تدوير شكل هلالي حول محور مركزي.

تم تعبئة الغلاف بمجموعة قطبية من الكرات بحيث تكون متماسّة لبعضها البعض وللكرتين اللتين تشكلان الغلاف.

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

The image shows an aerial view of a shell formed by two intersecting spheres, creating a concave space. This space can be imagined as a surface of revolution, obtained by rotating a crescent shape around a central axis.

Inside the shell, spheres are packed in a polar series, arranged in a column around a central axis. These internal spheres are tangent to each other and to the two spheres forming the shell.

L'immagine mostra una vista aerea di un guscio formato da due sfere intersecanti, creando uno spazio concavo. Questo spazio è immaginabile come una superficie di rotazione, ottenuta ruotando una forma a mezzaluna attorno a un asse centrale.

All'interno del guscio sono impacchettate, in una serie polare, sfere disposte a colonna attorno a un asse centrale. Queste sfere interne sono tangenti tra loro e alle due sfere del guscio.

منظور من الاعلى لكرة مغطاة بالكامل بأسطح قنوية بمحور حلزوني، مرتبة مركزيا حول المحور الرأسي للكرة نفسها. يشمل كل ابنوب كرات متماسة لبعضها البعض والتي انصاف اقطارها تتساوي بالتناوب اثنتين اثنتين؛ والنتيجة بشكل عام تشبه عقدة ضخمة ثلاثية الأبعاد.

Bird’s-eye perspective of a sphere entirely clad in helicoidal-axis canal surfaces, arranged radially around the sphere’s vertical axis. Each tube is made up of tangent spheres whose radii alternate in equal pairs; the overall effect resembles a massive three-dimensional knot.

Prospettiva a volo d’uccello di una sfera interamente rivestita da superfici canale a sviluppo elicoidale, disposte radialmente attorno all’asse verticale. Ogni modulo è formato da sfere tangenti tra loro i cui raggi si alternano a coppie; l’effetto complessivo evoca un enorme nodo tridimensionale.

https://isawi.blogspot.com/2024/01/blog-post_26.html

سلسلة قطبية من الأسطح القنوية (حالة التقريب رباعي الأضلاع)

لنعتبر سلسلة قطبية من الأسطح القنوية حول كرة k.

أولاً، تم الحصول على تقريب متعدد السطوح للكرة k باستخدام أوجه رباعية الأضلاع، بالاعتماد على محورين متقارنين: المحور العمودي والاستلقاء الأفقي. تم قطع k بحزمة من المستويات المارة بهذين المحورين وفقا لخطوط طول والعرض—أي قطاعات دائرية. العلاقة التناسبية بين دوران خطوط الطول وانزلاق خطوط العرض تولّد شبكة من مربعات الأضلاع على سطح الكرة.

يُحدد كل رباعي كتقاطع بين خطي طول وخطي عرض. مستوى كل رباعي يقطع الكرة k وفقا لدائرة. تم انشاء الكرة التي تمر بهذه الدوائر، مما أدى إلى ظهور عائلة من الكرات المتقاطعة مع بعضها البعض. عن طريق تغليف هذه الكرات نحصل على سطح قنوي مرجعي والذي، عند نسخة حول المحور العمودي للكرة k، نحصل على السلسلة القطبية الموضحة في الصورة المرفقة.

serie polari di superficie canale

(il caso dell'approssimazione quadrilatera)

Si consideri una serie polare di superfici canali intorno alla sfera k. In primo luogo, si è ottenuta un’approssimazione poliedrica di k tramite facce quadrilateri, basata su due assi coniugati: l’asse verticale e la giacitura orizzontale. Il fascio di piani passanti per tali assi seziona k in meridiani e paralleli, ossia in circonferenze di sezione. La corrispondenza proporzionale tra la rotazione dei meridiani e la traslazione dei paralleli genera un reticolo di quadrilateri sulla superficie sferica.

Ogni quadrilatero, definito dall’intersezione di un meridiano e di un parallelo, individua un piano di sezione che interseca k lungo una circonferenza. Per ciascuna circonferenza è stata costruita la sfera che la contiene, dando origine a una famiglia di sfere mutuamente intersecanti. L’inviluppo di questa famiglia di sfere definisce infine la superficie canale di riferimento che, ruotata attorno all’asse verticale di k, genera la serie polare illustrata nell’immagine allegata.

Ciclide elicoidale generalizzata: superficie canalare a direttrice elicoidale tangente una sfera
Generalized Helical Cyclide: A Canal Surface with Helical Directrix Tangent to a Sphere
دويرية حلزونية عامة: سطح قناة بمنحى حلزوني متماس لكرة

A polar series of spiral cyclide surfaces tangent a sphere سلسلة قطبية من الاسطح الدويرية الحلزونية المتماسة لكرة Generalized canal surface = immagine proiettiva di una canal surface (envelope di sfere) = involvente di una famiglia di quadriche qualsiasi non degeneri.

Così, dallo stesso punto di vista proiettivo, non c’è differenza sostanziale tra “inviluppo di sfere” e “inviluppo di quadriche non rigate”: entrambi sono proiezioni l’uno dell’altro.

دالة حلزونية

The image depicts an architectural application formed by a polar arrangement of double-horned Dupin cyclides, positioned tangentially to one another. This serves as a noteworthy example of how geometric principles can inform and stimulate design and architecture, culminating in the creation of distinctive and visually impactful forms.

تطبيق معماري لسلسلة قُطبية من أسطح حلقية ثنائية القرون متماسة لبعضها البعض.
ومثال مُلهم عن كيفية تأثير المفاهيم الهندسية على التشكيل المعماري.

L'immagine raffigura un'applicazione architettonica che consiste in una disposizione polare di ciclidi di Dupin a doppia corna, disposte in modo tangente l'una all'altra. Questo rappresenta un esempio notevole di come i principi geometrici possano informare e stimolare il design e l'architettura, culminando nella realizzazione di forme distintive e di forte impatto visivo

An architectural application of a polar series of interconnected biconcave toroidal surfaces.

حالة مماس لامركزية بين سطح اهليجي وآخر زائدي
a case of eccentric tangency between an ellipsoid and a hyperboloid

una serie polare di ciclidi

حالة مماس لامركزية بين كرة وسطح زائدي
المستوى الذي يقسم الفضاء إلى نصفين يسهل قراءة المواضع النسبية للأسطح . ونظراً لكون مركز الكرة لا ينتمي لمحور السطح الزائدي (حالة مماس غير مركزية)، فإن أجزاء السطوح الرباعية الموجودة فوق وتحت مستوى الفصل ليست متساوية.
هذه الصورة توحي لنا بأن النظام الهندسي لا يتجلى دائما من خلال التناظر التام بل من خلال الانسجام والتوازن بين الاختلافات الظاهرة
Tangenza non centrale tra una sfera ed un iperboloide a due falde
Il piano che divide lo spazio in due semispazi agevola la lettura visiva della posizione reciproca delle quadriche. Poiché il centro della sfera non appartiene all'asse dell'iperboloide (caso di tangenza non centrale), le porzioni delle due quadriche, poste rispettivamente sopra e sotto il piano di separazione, risultano incongruenti.
Questa asimmetria ci suggerisce che l'ordine geometrico non si manifesta sempre dalla simmetria perfetta ma dall'armonia e dal bilanciamento tra differenze apparenti

بحث هذه المدونة الإلكترونية

28‏/01‏/2024

فطر القفص الاحمر- Clathrus ruber

26‏/01‏/2024

geometric constructions and descriptive modeling- إنشاءات جيومترية ونمذجة وصفية

13‏/01‏/2024

الامتحان النهائي الرقمي لمادة الهندسة الوصفية

نمذجة الحجوم المبينة في اللوحة المرفقة وتحديد التقاطع بينها واخراجها بطريقة مشابهة للوحة نفسها

ملاحظات هامة